O método das chaves é uma técnica utilizada para realizar divisão entre polinômios, o resultado pode ajudar em manipulações algébricas e simplificações, exemplo, dividindo x^2-a^2 por x-a :
c x^2-a^2 lvert, x-ax+a -(x^2-a x)a x-a^2 -(a x-a^2)a^2-a^2 therefore x^2-a^2=(x+a)(x-a)
Verifique, pelo método das chaves, que
x^3-a^3=(x-a)(x^2+a x+a^2) bem como x^3+a^3=(x+a)(x^2-a x+a^2)

Passo 1

Este exercício pede para verificar, usando o método das chaves (divisão sintética), as fórmulas de fatoração das diferenças e somas de cubos: x^3 - a^3 e x^3 + a^3. Vamos precisar do conceito de divisão de polinômios por um fator linear e do uso de raízes para fazer a divisão sintética.

Passo 2

Para x^3 - a^3 dividido por x - a, note que a raiz do divisor é a. Montamos a divisão sintética com os coeficientes de x^3 + 0x^2 + 0x - a^3: trazemos o 1, multiplicamos por a e somamos sucessivamente: 1 → traz para o quociente; 1·a= a, 0+a= a; a·a= a^2, 0+a^2= a^2; a^2·a= a^3, -a3+a3=0. O quociente obtido é x^2 + a x + a^2 e o resto é zero.

Passo 3

Para x^3 + a^3 dividido por x + a, a raiz do divisor é -a. Montamos a divisão sintética com os coeficientes de x^3 + 0x^2 + 0x + a^3: trazemos o 1; 1·(-a)= -a, 0+(-a)= -a; (-a)·(-a)= a^2, 0+a^2= a^2; a^2·(-a)= -a^3, a3+(-a3)=0. O quociente é x^2 - a x + a^2 e o resto também é zero.

Resposta

x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + a x + a^2) e x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - a x + a^2).

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