Use o teste da segunda derivada para identificar os máximos e mínimos locais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada na função
para identificar pontos de máximo e mínimo locais. Vamos então (
) determinar a derivada primeira
, (
) achar os pontos críticos onde
, (
) calcular a derivada segunda
e (
) usar o sinal de
nesses pontos para concluir onde ocorrem máximos e mínimos locais.
Passo 2
Calcular a derivada primeira usando quociente: se
então
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Passo 4
Calcular a derivada segunda. Partindo de
usamos a regra do quociente e obtemos, após simplificar,
Passo 5
Avaliar
em cada ponto crítico:
- Em
:
logo concavidade para baixo e
é ponto de máximo local.
- Em
:
logo concavidade para cima e
é ponto de mínimo local.
Resposta
Máximo local em
.
Mínimo local em .
Mínimo local em