Use o teste da segunda derivada para identificar os máximos e mínimos locais das funções abaixo.
g(x)=10 x100+x^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada na função
g(x)=10x100+x^2
para identificar pontos de máximo e mínimo locais. Vamos então ( 1) determinar a derivada primeira g'(x), ( 2) achar os pontos críticos onde g'(x)=0, ( 3) calcular a derivada segunda g''(x) e ( 4) usar o sinal de g'' nesses pontos para concluir onde ocorrem máximos e mínimos locais.

Passo 2

Calcular a derivada primeira usando quociente: se
g(x)=10x100+x^2,
então
g'(x) =10,(100+x^2) - 10xcdot(2x)(100+x^2)^2 =1000 +10x^2 -20x^2(100+x^2)^2 =1000 -10x^2(100+x^2)^2

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo g'(x)=0:
1000 -10x^2=0 Longrightarrow x^2=100 Longrightarrow x=pm 10

Passo 4

Calcular a derivada segunda. Partindo de
g'(x)=10,(100 - x^2)(100+x^2)^2,
usamos a regra do quociente e obtemos, após simplificar,
g''(x) =-20x,300 - x^2(100+x^2)^3

Passo 5

Avaliar g'' em cada ponto crítico:
- Em x=10:
g''(10) = -20 cdot 10 ; 300 - 100(100 + 100)^3 = -200 ; 200200^3 < 0,
logo concavidade para baixo e x=10 é ponto de máximo local.
- Em x=-10:
g''(-10) = -20 cdot (-10) ; 300 - 100(100 + 100)^3 = 200 ; 200200^3 > 0,
logo concavidade para cima e x=-10 é ponto de mínimo local.

Resposta

Máximo local em l(10,;g(10)r) = l(10,;0,5r).
Mínimo local em l(-10,;g(-10)r) = l(-10,;-0,5r).

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