O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para mostrar que ela é homogênea. Lembre que uma função
é homogênea de grau zero se
para todo
. Aqui temos
e queremos verificar essa propriedade.
Passo 2
Identificamos o numerador e o denominador como funções homogêneas e comparamos seus graus. Seja
então para
temos
portanto
é homogênea de grau 2. Agora o denominador
satisfaz
ou seja,
também é homogênea de grau 2.
Passo 3
Como numerador e denominador são homogêneos de mesmo grau, o quociente é homogêneo de grau
. De fato,
Logo a equação dada é homogênea.
Resposta
A equação é homogênea, pois a função
satisfaz
para todo
.