O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
d yd x=3 y^2-x^22 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=3y^2-x^22xy,
e pede para mostrar que ela é homogênea. Lembre que uma função f(x,y) é homogênea de grau zero se
f(lambda x,lambda y)=f(x,y)
para todo lambdaneq0. Aqui temos
f(x,y)=3y^2-x^22xy,
e queremos verificar essa propriedade.

Passo 2

Identificamos o numerador e o denominador como funções homogêneas e comparamos seus graus. Seja
N(x,y)=3y^2-x^2,
então para lambda x,lambda y temos
N(lambda x,lambda y)=3(lambda y)^2-(lambda x)^2 =lambda^2(3y^2-x^2) =lambda^2N(x,y),
portanto N é homogênea de grau 2. Agora o denominador
D(x,y)=2xy
satisfaz
D(lambda x,lambda y)=2(lambda x)(lambda y)=lambda^2(2xy)=lambda^2D(x,y),
ou seja, D também é homogênea de grau 2.

Passo 3

Como numerador e denominador são homogêneos de mesmo grau, o quociente é homogêneo de grau 2-2=0. De fato,
f(lambda x,lambda y) =N(lambda x,lambda y)D(lambda x,lambda y) =lambda^2N(x,y)lambda^2D(x,y) =N(x,y)D(x,y) =f(x,y)
Logo a equação dada é homogênea.

Resposta

A equação é homogênea, pois a função
f(x,y)=3y^2-x^22xy
satisfaz f(lambda x,lambda y)=f(x,y) para todo lambdaneq0.

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