O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
b. Resolva a equação diferencial.
d yd x=3 y^2-x^22 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 3y^2 - x^22xy
que é uma equação homogênea (o quociente do lado direito depende de y/x). Vamos usar a substituição
y = x,v(x),
o que transforma a equação em uma forma separável.

Passo 2

Fazendo y = x,v temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = 3y^2 - x^22xy e usando y^2 = x^2 v^2 obtemos
v + xdvdx = 3(x^2v^2) - x^22x,(xv) = 3v^2 - 12v
Logo
xdvdx = 3v^2 - 12v - v = 3v^2 - 1 - 2v^22v = v^2 - 12v

Passo 3

Reescrevendo como separável:
2vv^2 - 1,dv = dxx
Agora integramos dos dois lados:

Passo 4

Usando a substituição interna u = v^2 - 1, du = 2v,dv, temos
integral 2vv^2 - 1,dv = integral duu = lnl|ur| + C = lnl|v^2 - 1r| + C
Do outro lado
integral dxx = lnl|xr| + C'
Igualando constantes (absorvendo C') dá
lnl|v^2 - 1r| = lnl|xr| + C Longrightarrow l|v^2 - 1r| = K,l|xr|
com K = e^C. Para simplicidade escrevemos
v^2 - 1 = C,x

Passo 5

Voltando à variável original v = y/x:
l(yxr)^2 - 1 = C,x Longrightarrow y^2x^2 = 1 + C,x Longrightarrow y^2 = x^2 + C,x^3

Resposta

y^2 = x^2 + C,x^3,
ou equivalentemente
y = pm xraiz1 + C,x

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