O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Isto é, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última equação pode ser resolvida por integração direta e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas de 31 a 38:
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem? \frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
e pede:
(a) mostrar que ela é homogênea;
(b) resolver por integração direta usando a substituição y=x\,v(x);
(c) esboçar o campo de direções e algumas curvas integrais, comentando se são simétricas em relação à origem.
Passo 2
Para checar a homogeneidade, note que tanto o numerador 3y^2 - x^2 quanto o denominador 2xy são polinômios homogêneos de grau 2 em x,y. Logo a razão
O campo de direções vem de \displaystyle y'=f(x,y) com f homogênea de grau zero, logo
f(-x,-y)=f(x,y),
que implica simetria do campo em relação à origem. As curvas integrais são
y^2=x^2+C\,x^3.
Somente para C=0 (isto é, y^2=x^2) a própria curva é simétrica em torno da origem. Para C\neq0, cada integral passa a uma outra com constante -C sob o giro de 180^\circ, mas a curva individual não coincide com ela própria.
Resposta
(a) A equação é homogênea porque o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau.
(b) Substituindo y=xv e separando variáveis, obtemos a solução geral implícita
y^2 = x^2 + C\,x^3.
(c) O campo de direções é simétrico em relação à origem (pois f(-x,-y)=f(x,y)), mas as curvas integrais individuais só são simétricas quando C=0; para C\neq0 cada curva tem sua “irmã” com constante -C.