O método esboçado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Isto é, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última equação pode ser resolvida por integração direta e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas de 31 a 38:
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
e pede:
(a) mostrar que ela é homogênea;
(b) resolver por integração direta usando a substituição y=x\,v(x);
(c) esboçar o campo de direções e algumas curvas integrais, comentando se são simétricas em relação à origem.

Passo 2

Para checar a homogeneidade, note que tanto o numerador 3y^2 - x^2 quanto o denominador 2xy são polinômios homogêneos de grau 2 em x,y. Logo a razão
f(x,y)=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
satisfaz
f(tx,ty)=\frac{3(t y)^2-(t x)^2}{2\,(t x)(t y)} =\frac{t^2(3y^2-x^2)}{t^2(2xy)} =f(x,y),
ou seja, é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo y=x\,v implica
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação dada:
v+x\frac{dv}{dx} =\frac{3(xv)^2 - x^2}{2x\,(xv)} =\frac{x^2(3v^2-1)}{2x^2v} =\frac{3v^2-1}{2v}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =\frac{3v^2-1}{2v}-v =\frac{3v^2-1-2v^2}{2v} =\frac{v^2-1}{2v}.
Portanto a equação torna-se separável:
2v\;\frac{dv}{v^2-1}=\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int 2v\frac{dv}{v^2-1} =\int\frac{dx}{x}.
Fazendo u=v^2-1, du=2v\,dv, obtemos
\int\frac{du}{u}=\ln\bigl|v^2-1\bigr| =\ln|x|+C.
Logo
v^2-1=C'\,x,
onde C'=e^C. Voltando a y e x v=y/x:
\frac{y^2}{x^2}-1=C'\,x \quad\Longrightarrow\quad y^2=x^2+C'\,x^3.
Este é o formato implícito da solução geral.

Passo 5

O campo de direções vem de \displaystyle y'=f(x,y) com f homogênea de grau zero, logo
f(-x,-y)=f(x,y),
que implica simetria do campo em relação à origem. As curvas integrais são
y^2=x^2+C\,x^3.
Somente para C=0 (isto é, y^2=x^2) a própria curva é simétrica em torno da origem. Para C\neq0, cada integral passa a uma outra com constante -C sob o giro de 180^\circ, mas a curva individual não coincide com ela própria.

Resposta

(a) A equação é homogênea porque o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau.
(b) Substituindo y=xv e separando variáveis, obtemos a solução geral implícita
y^2 = x^2 + C\,x^3.
(c) O campo de direções é simétrico em relação à origem (pois f(-x,-y)=f(x,y)), mas as curvas integrais individuais só são simétricas quando C=0; para C\neq0 cada curva tem sua “irmã” com constante -C.

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