Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
mostrando primeiro que ela não é exata. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Sabemos que
então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
onde
Agora verificamos a exatidão:
logo a equação é exata.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Fazendo a substituição
,
,
e como
,
Portanto
Passo 6
Para determinar
, usamos
Isso implica
, logo
é constante.
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
ou explicitamente