Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
\left(3 x^{2} y-x^{2}\right) d x+d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(3x^{2}y - x^{2}\bigr)\,dx + dy = 0
mostrando primeiro que ela não é exata. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 3x^{2}y - x^{2}, \quad N(x,y) = 1.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 0,
como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. Sabemos que
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) =\frac{3x^{2}-0}{1}=3x^{2},
então
\mu(x) = \exp\Bigl(\int 3x^{2}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x^{3}\bigr) = e^{x^{3}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^{x^{3}}, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0,
onde
M^*(x,y) = \bigl(3x^{2}y - x^{2}\bigr)e^{x^{3}}, \quad N^*(x,y) = e^{x^{3}}.
Agora verificamos a exatidão:
\frac{\partial M^*}{\partial y} = 3x^{2}e^{x^{3}}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} = 3x^{2}e^{x^{3}},
logo a equação é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M^*(x,y).
Integramos em x:
\psi(x,y) = \int \bigl(3x^{2}y - x^{2}\bigr)e^{x^{3}}\,dx = y\int 3x^{2}e^{x^{3}}\,dx \;-\;\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Fazendo a substituição u = x^{3}, du = 3x^{2}\,dx,
\int 3x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} = e^{x^{3}},
e como x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}du,
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \tfrac{1}{3}\int e^{u}\,du = \tfrac{1}{3}e^{x^{3}}.
Portanto
\psi(x,y) = y\,e^{x^{3}} - \tfrac{1}{3}e^{x^{3}} + h(y).

Passo 6

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = e^{x^{3}} + h'(y) \stackrel{!}{=} N^*(x,y) = e^{x^{3}}.
Isso implica h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
y\,e^{x^{3}} - \tfrac{1}{3}e^{x^{3}} = C,
ou explicitamente
y = \tfrac{1}{3} + Ce^{-\,x^{3}}.

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