Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
y \ln x \frac{d y}{d x}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial separável
y\,\ln x \,\frac{dy}{dx} = \Bigl(\frac{y+1}{x}\Bigr)^{2}.
Vamos identificar que é uma EDO em que podemos isolar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x de outro, e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a EDO e separando variáveis, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{(y+1)^{2}}{x^{2}\,y\,\ln x} \;\;\Longrightarrow\;\; y\,\ln x\,dy = \frac{(y+1)^{2}}{x^{2}}\,dx \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy = \frac{dx}{x^{2}\,\ln x}.

Passo 3

Integramos o lado em y. Observe que
\frac{y}{(y+1)^{2}} = \frac{(y+1)-1}{(y+1)^{2}} = \frac{1}{y+1} - \frac{1}{(y+1)^{2}},
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\int \frac{y}{(y+1)^{2}}\,dy = \int\Bigl(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{(y+1)^{2}}\Bigr)\,dy = \ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1}.

Passo 4

Agora integramos o lado em x:
\int \frac{dx}{x^{2}\,\ln x}.
Fazendo a troca de variável u=\ln x, temos du=dx/x e x=e^{u}, então
\int \frac{dx}{x^{2}\,\ln x} = \int \frac{e^{-u}}{u}\,du = -\operatorname{Ei}(-u) = -\operatorname{Ei}(-\ln x),
onde \operatorname{Ei} é a função integral exponencial.

Passo 5

Igualando as integrais e introduzindo a constante C, obtemos a solução implícita
\ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} = -\operatorname{Ei}(-\ln x) + C.

Resposta

\ln\lvert y+1\rvert + \frac{1}{y+1} + \operatorname{Ei}(-\ln x) = C.

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