8 Método de Gauss-Seidel
Verifique se método de Gauss-Seidel converge para o seguinte sistema linear (mude a ordem das linhas se necessário). Em caso positivo, resolva-o:
pede que verifiquemos se o método de Gauss–Seidel converge (posso mudar a ordem das linhas) e, em caso afirmativo, que o resolvamos.
Informações relevantes: os três coeficientes de x_3 são iguais a 10 nas três equações; posso trocar a ordem das equações para melhorar convergência. O objetivo final é obter os valores de x_1,x_2,x_3.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática e fórmula)?\n
Idea rápida: é um método iterativo para resolver Ax=b. Atualizamos as componentes de x uma a uma, usando imediatamente os valores já atualizados na mesma iteração (ao contrário do método de Jacobi, que usa só os valores da iteração anterior). Isso costuma acelerar a convergência quando o método converge.\n
Separação matricial: escrevemos A=D+L+U, onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior e U é a parte estritamente triangular superior. A forma matricial da iteração de Gauss–Seidel é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b.
Aqui x^{(k)} é o vetor na iteração k.\n
Forma componente a componente (mais usada na hora da prova): se a i-ésima equação é \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = b_i, então a atualização de x_i na iteração k+1 é
Nesse cálculo usamos os x_j^{(k+1)} já atualizados para j<i e os x_j^{(k)} antigos para j>i.\n
Critério prático de convergência (suficiente): se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todo i), então Gauss–Seidel converge. Quando não há dominância óbvia, podemos checar a convergência examinando o raio espectral \rho(G) da matriz de iteração G=-(D+L)^{-1}U: se \rho(G)<1 então o método converge. Eu vou usar essa condição numérica quando for necessário.\n
Observação prática: posso trocar a ordem das equações (linhas) para tentar obter um G com \rho(G)<1.
Passo 3
Escolha da ordem das linhas para tentar convergência e verificação:\n
Vou tentar a ordem das equações como \) (linha original 2), (linha original 3), (linha original 1)\), isto é, reescrevendo o sistema como
\[\begin{cases} 50x_{1}+20x_{2}+10x_{3}=100,\\[4pt] 80x_{1}+70x_{2}+10x_{3}=250,\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}+10x_{3}=15. \end{cases}
Essa escolha coloca nos elementos diagonais os valores 50,70,10\] — em muitos problemas isso melhora as propriedades numéricas.\n
- Agora construo a matriz de iteração \(G=-(D+L)^{-1}U para essa ordem e verifico seu raio espectral.\n
Matriz dividida:
Para montar G eu resolvo triângulos coluna a coluna: G=-(D+L)^{-1}U. Isso conduz (apenas mostrando o resultado intermediário importante) a uma matriz G cuja primeira coluna é zero e a submatriz 2\times2 (linguagem curta: a parte que determina os outros autovalores) é
que num cálculo numérico dá autovalores aproximadamente \lambda_1\approx 0{,}455 e \lambda_2\approx 0{,}025. Portanto os autovalores de G são aproximadamente 0,\,0{,}455,\,0{,}025.\n
Conclusão: o raio espectral \rho(G)\approx 0{,}455<1. Logo, para a ordem escolhida o método de Gauss–Seidel converge. (Comentário amigo: tentei obter dominância estrita por linhas, mas mesmo sem ela a checagem do raio espectral mostrou convergência para essa ordem.)]
Passo 4
Escrevo as fórmulas iterativas explícitas (componentes) para a ordem escolhida. A cada iteração k fazemos, em sequência:
Explicando cada termo: ao calcular x_2^{(k+1)} usamos o x_1^{(k+1)} recém-calculado (Gauss–Seidel faz isso) e usamos x_3^{(k)} ainda antigo; ao calcular x_3^{(k+1)} usamos os dois valores já atualizados x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.\n
Escolho o chute inicial simples \,x^{(0)}=(0,0,0)\, — é comum e serve bem aqui.]
Passo 5
Iterações (vou mostrar as primeiras iterações detalhadas; o padrão é esse até a convergência). Todas as contas abaixo seguem diretamente as fórmulas do Passo 4 e usei arredondamento decimal onde necessário.
Podemos perceber (e isto é importante na prova) que esses valores sugerem frações simples. Experimente provar substituindo as frações \frac{5}{6},\frac{5}{2},\frac{5}{6} no sistema original:\n
Substituindo x_1=\dfrac{5}{6},\,x_2=\dfrac{5}{2},\,x_3=\dfrac{5}{6} na primeira equação:
Comentário final amigo: o Gauss–Seidel, com a ordem das linhas escolhida, converge e nos leva a essa solução; numa prova você pode apresentar algumas iterações para demonstrar o processo e, se reconhecer frações simples, verificar por substituição como eu fiz.