(… pontos) Escolha, marcando X , o método que será utilizado para determinar o zero da função
f(x)=-\frac{1}{x^{2}}-x+6
no intervalo ( [5,8] ), com precisão ( \varepsilon=0,05 ) (use arredondamento e 5 casas decimais).
Método da bisseção
Método da posição falsa

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha um dos métodos indicados para determinar o zero da função
f(x) = -\frac{1}{x^{2}} - x + 6
no intervalo [5,8] com precisão \varepsilon = 0{,}05.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Função: } f(x) = -\frac{1}{x^{2}} - x + 6,\\\ &\text{Intervalo: } [5,8],\\\ &\text{Precisão: } \varepsilon = 0{,}05,\\\ &\text{Formato: usar arredondamento com 5 casas decimais.} \end{aligned}çãã

Passo 2

Escolho o método da bisseção. Motivos (curtos e práticos): há troca de sinal em f(5) e f(8) (veremos isso no próximo passo), o método da bisseção é o mais básico, robusto e simples de aplicar sem truques algébricos; ele garante convergência e tem critério de parada claro baseado no tamanho do intervalo. Por isso marco X em “Método da bisseção” em vez de escolher posição falsa.

Passo 3

Explicação didática do método da bisseção (passo a passo, como usar na prova):
  • Requisito inicial: ter a e b com f(a)\cdot f(b) < 0 (isso garante uma raiz em (a,b)).
  • Em cada iteração: calcular o ponto médio
c = \frac{a+b}{2},
avaliar f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 achamos a raiz exata. Se f\text{(c)} tem mesmo sinal de f(a), substituímos a \leftarrow c; caso contrário substituímos b \leftarrow c. Repetimos.
  • Critério de parada usado aqui: parar quando o erro garantido
\frac{b-a}{2} \le \varepsilon.
Isso significa que o ponto médio do intervalo atual está garantidamente a uma distância menor ou igual a \varepsilon da raiz real. Em cada passo vou arredondar valores numéricos a 5 casas decimais, conforme pedido.

Passo 4

Avalio os extremos para confirmar a troca de sinal (com 5 casas decimais):
f(5) = -\frac{1}{5^{2}} - 5 + 6 = -\frac{1}{25} + 1 = -0{,}04 + 1 = 0{,}96000.
f(8) = -\frac{1}{8^{2}} - 8 + 6 = -\frac{1}{64} - 2 = -0{,}015625 - 2 = -2{,}01563.
Como f(5)=0{,}96000>0 e f(8)=-2{,}01563<0, existe pelo menos uma raiz em (5,8). Podemos aplicar bisseção.

Passo 5

Iteração 1:
a_0 = 5{,}00000,\quad b_0 = 8{,}00000.
Ponto médio:
c_1 = \frac{a_0+b_0}{2} = \frac{5{,}00000+8{,}00000}{2} = 6{,}50000.
Avalio f(c_1):
f(6{,}50000) = -\frac{1}{6{,}50000^{2}} - 6{,}50000 + 6 \approx -0{,}0236686391 -0{,}50000 = -0{,}5236686391 \approx -0{,}52367.
Arredondando a 5 casas: f(6{,}50000) = -0{,}52367. Sinal negativo, logo nova reta é [a_1,b_1]=[5{,}00000,\,6{,}50000].

Passo 6

Iteração 2:
c_2 = \frac{5{,}00000+6{,}50000}{2} = 5{,}75000.
f(5{,}75000) = -\frac{1}{5{,}75000^{2}} - 5{,}75000 + 6 \approx -0{,}03024506 + 0{,}25000 = 0{,}21975494 \approx 0{,}21976.
Arredondado: f(5{,}75000)=0{,}21976 (positivo). Então nova reta é [a_2,b_2]=[5{,}75000,\,6{,}50000].

Passo 7

Iteração 3:
c_3 = \frac{5{,}75000+6{,}50000}{2} = 6{,}12500.
f(6{,}12500) = -\frac{1}{6{,}12500^{2}} - 6{,}12500 + 6 \approx -0{,}02666423 -0{,}12500 = -0{,}15166423 \approx -0{,}15166.
Arredondado: f(6{,}12500)=-0{,}15166 (negativo). Nova reta: [a_3,b_3]=[5{,}75000,\,6{,}12500].

Passo 8

Iteração 4:
c_4 = \frac{5{,}75000+6{,}12500}{2} = 5{,}93750.
f(5{,}93750) = -\frac{1}{5{,}93750^{2}} - 5{,}93750 + 6 \approx -0{,}02834000 + 0{,}06250 = 0{,}03416000 \approx 0{,}03416.
Arredondado: f(5{,}93750)=0{,}03416 (positivo). Nova reta: [a_4,b_4]=[5{,}93750,\,6{,}12500].

Passo 9

Iteração 5:
c_5 = \frac{5{,}93750+6{,}12500}{2} = 6{,}03125.
f(6{,}03125) = -\frac{1}{6{,}03125^{2}} - 6{,}03125 + 6 \approx -0{,}02746800 -0{,}03125 = -0{,}05871800 \approx -0{,}05872.
Arredondado: f(6{,}03125)=-0{,}05872 (negativo). Nova reta: [a_5,b_5]=[5{,}93750,\,6{,}03125].

Passo 10

Critério de parada: verifique o erro garantido
\frac{b_5-a_5}{2} = \frac{6{,}03125 - 5{,}93750}{2} = \frac{0{,}09375}{2} = 0{,}046875.
Como 0{,}046875 \le 0{,}05, atingimos a precisão exigida. A aproximação da raiz é o ponto médio do intervalo final:
c_{\text{final}} = \frac{5{,}93750 + 6{,}03125}{2} = 5{,}984375.
Arredondando a 5 casas decimais conforme pedido:
c_{\text{final}} \approx 5{,}98438.

Resposta

\text{Método da bisseção: X}éçã
\text{Raiz aproximada: }5{,}98438

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