(Método Newton - Raphson) Calcular a raiz cúbica de 5 sendo
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos:
- Pede-se calcular a raiz cúbica de
, ou seja, encontrar tal que . - A precisão exigida é
. Vou usar como critério de parada a diferença entre iterações consecutivas: parar quando . - Não há outras informações; escolherei uma aproximação inicial razoável e aplicarei o método de Newton–Raphson até atingir a precisão pedida.
Passo 2
O método de Newton–Raphson (explicação didática e fórmula):
- Seja a função
. As raízes de são os valores procurados (pois ). - A derivada é
. - A iteração de Newton é dada por
- Substituindo
e obtemos a fórmula específica para a raiz cúbica:
- Interpretação prática: a cada passo ajustamos
usando o declive da função; para funções polinomiais simples como essa a fórmula fica fácil de calcular.
Passo 3
Escolha do chute inicial e justificativa simples:
- Uma boa estimativa inicial é
porque e está perto de (e é muito abaixo). Chute simples, funciona bem com Newton. - Vou usar o critério de parada
.
Passo 4
Primeira iteração (detalhando as contas para que dê para fazer sem calculadora):
-
. - Calculamos
- Anotação: agora
, ainda maior que .
Passo 5
Segunda iteração (mostrar passo a passo):
-
. Primeiro calcule e : -
. -
.
-
- Agora
- Dividindo
obtém-se aproximadamente . Assim
- Verificação do critério:
, então continua.
Passo 6
Terceira iteração (continuar detalhando as contas):
-
. Calcular e usar a fórmula conveniente : -
(faça a multiplicação seguindo o mesmo procedimento de número por número). - Então
. - E
.
-
- Somando:
- Diferença:
, ainda maior que , então prosseguimos.
Passo 7
Quarta iteração e verificação do critério final:
-
. Calcular e (ou usar a mesma forma): -
. -
(produto de por ).
-
- Então
- Assim
- Agora a diferença
. Portanto o critério foi satisfeito e podemos parar.
Passo 8
Interpretação do resultado e garantia de precisão:
- A convergência do método de Newton aqui é rápida (quadrática), por isso após poucas iterações já atingimos uma diferença entre iterações muito menor que
. - A aproximação final encontrada é
. Isso satisfaz e, consequentemente, a precisão pedida para a raiz cúbica de .