(Método Newton - Raphson) Calcular a raiz cúbica de 5 sendo \epsilon \leq 10^{-4}

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos:
  • Pede-se calcular a raiz cúbica de 5, ou seja, encontrar x tal que \,x^3 = 5.
  • A precisão exigida é \epsilon \leq 10^{-4}. Vou usar como critério de parada a diferença entre iterações consecutivas: parar quando |x_{n+1}-x_n|\leq \epsilon.
  • Não há outras informações; escolherei uma aproximação inicial razoável e aplicarei o método de Newton–Raphson até atingir a precisão pedida.

Passo 2

O método de Newton–Raphson (explicação didática e fórmula):
  • Seja a função \,f(x)=x^3-5. As raízes de f são os valores procurados (pois f(x)=0 \iff x^3=5).
  • A derivada é \,f'(x)=3x^2.
  • A iteração de Newton é dada por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Substituindo f e f' obtemos a fórmula específica para a raiz cúbica:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-5}{3x_n^2} =\frac{2}{3}x_n+\frac{5}{3x_n^2}.
  • Interpretação prática: a cada passo ajustamos x_n usando o declive da função; para funções polinomiais simples como essa a fórmula fica fácil de calcular.

Passo 3

Escolha do chute inicial e justificativa simples:
  • Uma boa estimativa inicial é x_0=2 porque 2^3=8 e 8 está perto de 5 (e 1^3=1 é muito abaixo). Chute simples, funciona bem com Newton.
  • Vou usar o critério de parada |x_{n+1}-x_n|\leq 10^{-4}.

Passo 4

Primeira iteração (detalhando as contas para que dê para fazer sem calculadora):
  • x_0=2.
  • Calculamos
x_1 = x_0-\frac{x_0^3-5}{3x_0^2} =2-\frac{8-5}{3\cdot 4} =2-\frac{3}{12} =2-\frac{1}{4}=1,75.
  • Anotação: agora |x_1-x_0|=|1,75-2|=0,25, ainda maior que \epsilon.

Passo 5

Segunda iteração (mostrar passo a passo):
  • x_1=1,75. Primeiro calcule x_1^2 e x_1^3:
    • x_1^2=1,75^2=3,0625.
    • x_1^3=1,75\cdot 3,0625=5,359375.
  • Agora
x_2 = 1,75-\frac{5,359375-5}{3\cdot 3,0625} =1,75-\frac{0,359375}{9,1875}.
  • Dividindo 0,359375/9,1875 obtém-se aproximadamente 0,039117647. Assim
x_2\approx 1,75-0,039117647 \approx 1,710882353.
  • Verificação do critério: |x_2-x_1|\approx 0,039117647>10^{-4}, então continua.

Passo 6

Terceira iteração (continuar detalhando as contas):
  • x_2\approx 1,710882353. Calcular x_2^2 e usar a fórmula conveniente \,x_{n+1}=\tfrac{2}{3}x_n+\tfrac{5}{3x_n^2}:
    • x_2^2\approx 2,927118425 (faça a multiplicação 1,710882353\cdot1,710882353 seguindo o mesmo procedimento de número por número).
    • Então \tfrac{2}{3}x_2\approx 1,140588235.
    • E \dfrac{5}{3x_2^2}\approx \dfrac{5}{3\cdot 2,927118425}\approx 0,569388200.
  • Somando:
x_3\approx 1,140588235+0,569388200\approx 1,709976435.
  • Diferença: |x_3-x_2|\approx 0,000905918, ainda maior que 10^{-4}, então prosseguimos.

Passo 7

Quarta iteração e verificação do critério final:
  • x_3\approx 1,709976435. Calcular x_3^2 e x_3^3 (ou usar a mesma forma):
    • x_3^2\approx 2,924019373.
    • x_3^3\approx 5,000004238 (produto de x_3 por x_3^2).
  • Então
\text{correção}=\frac{x_3^3-5}{3x_3^2}\approx\frac{0,000004238}{8,772058119}\approx 4,83\cdot 10^{-7}.çã
  • Assim
x_4=x_3-\text{correção}\approx 1,709976435-0,000000483\approx 1,709975952.çã
  • Agora a diferença |x_4-x_3|\approx 4{,}8\cdot 10^{-7}\leq 10^{-4}. Portanto o critério \epsilon\leq 10^{-4} foi satisfeito e podemos parar.

Passo 8

Interpretação do resultado e garantia de precisão:
  • A convergência do método de Newton aqui é rápida (quadrática), por isso após poucas iterações já atingimos uma diferença entre iterações muito menor que 10^{-4}.
  • A aproximação final encontrada é x_4\approx 1,709975952. Isso satisfaz \,|x_4-x_3|\leq 10^{-4} e, consequentemente, a precisão pedida para a raiz cúbica de 5.

Resposta

\sqrt[3]{5}\approx 1,709976

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