(Método da Bissecção)
  • Encontrar a raiz de x^{2}+\ln (x) contida no intervalo [0.5,1], com \epsilon \leq 10^{-2}.
  • Encontrar a primeira raíz positiva da função f(x)=e^{-x}-\sin (x), com \epsilon \leq 10^{-2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Primeiro item: Encontrar a raiz de x^{2}+\ln(x) contida no intervalo [0{,}5,\,1] com tolerância \epsilon \le 10^{-2}.
  • Segundo item: Encontrar a primeira raiz positiva da função f(x)=e^{-x}-\sin(x) com tolerância \epsilon \le 10^{-2}.
Informações relevantes dadas:
  • Nos dois casos a tarefa pede aplicar o método da bissecção (portanto devemos procurar intervalos onde a função seja contínua e mude de sinal).
  • A tolerância é \epsilon \le 10^{-2}, ou seja queremos que o erro absoluto aproximado da raiz seja no máximo 10^{-2}.

Passo 2

Breve aula sobre o Método da Bissecção (didático e passo a passo).
  • Ideia principal: se g é contínua em [a,b] e g(a)\cdot g(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). A bissecção reduz repetidamente o comprimento do intervalo que contém a raiz, escolhendo o subintervalo onde o sinal muda.
  • Cada iteração:
    1. Calcula-se o ponto médio \displaystyle m=\frac{a+b}{2}.
    2. Avalia-se g(m).
    3. Se g(a)\cdot g(m)<0, a nova caixa é [a,m]; caso contrário (se g(m)\cdot g(b)<0) a nova caixa é [m,b]. (Se g(m)=0 encontrou-se a raiz exata.)
  • Critério de parada prático: parar quando o erro máximo garantido for pequeno. O erro no método da bissecção é menor ou igual a metade do comprimento do intervalo atual. Ou seja, se b_n-a_n é o comprimento do intervalo na iteração n, então a raiz está a uma distância \le \dfrac{b_n-a_n}{2} do ponto médio. Logo podemos parar quando \frac{b_n-a_n}{2}\le \epsilon.
  • Número mínimo de iterações necessário (garantido) para que \dfrac{b_n-a_n}{2}\le \epsilon é n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b_0-a_0}{\epsilon}\right)\right\rceil,onde [a_0,b_0] é o intervalo inicial.
  • Observação prática: em prova, calcule n com a fórmula acima para saber quantas iterações executar no papel, e então faça as iterações verificando o sinal de g(m) a cada passo.

Passo 3

Resolvendo o primeiro item: raiz de g(x)=x^{2}+\ln(x) em [0{,}5,\,1].
  1. Verificação de continuidade e troca de sinal:
  • A função g(x)=x^{2}+\ln(x) é contínua para x>0, logo é contínua em [0{,}5,\,1].
  • Avaliando as extremidades (peguei estes valores direto do enunciado do intervalo): g(0{,}5)=0{,}5^{2}+\ln(0{,}5)=0{,}25+\ln(0{,}5)=0{,}25-0{,}693147\ldots=-0{,}443147\ldots
g(1)=1^{2}+\ln(1)=1+0=1.
Como g(0{,}5)<0 e g(1)>0, existe uma raiz no intervalo por troca de sinal.
  1. Determinar número de iterações necessárias:
  • Comprimento inicial b_0-a_0=1-0{,}5=0{,}5.
  • Queremos \dfrac{b_n-a_n}{2}\le 10^{-2}. O número n mínimo satisfaz n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{0{,}5}{0{,}01}\right)\right\rceil =\left\lceil \log_{2}(50)\right\rceil \approx\left\lceil 5{,}6438\ldots\right\rceil =6.Então faremos 6 iterações (isso garante o erro \le 0{,}01).
  1. Executando as 6 iterações (em cada linha: intervalo [a,b], ponto médio m, valor g(m), escolha do próximo intervalo).
  • Iteração 1: [a,b]=[0{,}5,\,1],\qquad m=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
g(0{,}75)=0{,}75^{2}+\ln(0{,}75)=0{,}5625-0{,}287682\ldots=0{,}2748179\ldots>0.
Como g(0{,}5)<0 e g(0{,}75)>0, a raiz está em [0{,}5,\,0{,}75].
  • Iteração 2: [a,b]=[0{,}5,\,0{,}75],\qquad m=0{,}625.
g(0{,}625)=0{,}625^{2}+\ln(0{,}625)=0{,}390625-0{,}4700036\ldots=-0{,}0793786\ldots<0.
Raiz em [0{,}625,\,0{,}75].
  • Iteração 3: [a,b]=[0{,}625,\,0{,}75],\qquad m=0{,}6875.
g(0{,}6875)=0{,}47265625+\ln(0{,}6875)=0{,}47265625-0{,}37469345\ldots=0{,}0979628\ldots>0.
Raiz em [0{,}625,\,0{,}6875].
  • Iteração 4: [a,b]=[0{,}625,\,0{,}6875],\qquad m=0{,}65625.
g(0{,}65625)=0{,}4306640625+\ln(0{,}65625)=0{,}4306640625-0{,}4212134650\ldots=0{,}0094505974\ldots>0.
Raiz em [0{,}625,\,0{,}65625].
  • Iteração 5: [a,b]=[0{,}625,\,0{,}65625],\qquad m=0{,}640625.
g(0{,}640625)=0{,}410400390625+\ln(0{,}640625)=0{,}410400390625-0{,}4453110167\ldots=-0{,}0349106260\ldots<0.
Raiz em [0{,}640625,\,0{,}65625].
  • Iteração 6: [a,b]=[0{,}640625,\,0{,}65625],\qquad m=0{,}6484375.
g(0{,}6484375)=0{,}42047119140625+\ln(0{,}6484375)=0{,}42047119140625-0{,}4331899033\ldots=-0{,}0127187119\ldots<0.
Após essa iteração a raiz está em [0{,}6484375,\,0{,}65625].
  1. Verificação do critério de parada:
  • Comprimento final do intervalo b-a=0{,}65625-0{,}6484375=0{,}0078125.
  • Metade desse comprimento é \dfrac{b-a}{2}=0{,}00390625\le 0{,}01. Portanto a precisão exigida foi alcançada.
  • Aproximação da raiz (ponto médio do intervalo final): x_{\text{aprox}}=\frac{0{,}6484375+0{,}65625}{2}=0{,}65234375.Essa é uma aproximação com erro garantido \le 0{,}01.

Passo 4

Agora resolvendo o segundo item: primeira raiz positiva de f(x)=e^{-x}-\sin(x).
  1. Encontrar um intervalo inicial com troca de sinal (procura do primeiro zero positivo).
  • Avaliando em x=0: f(0)=e^{0}-\sin(0)=1-0=1>0.
  • Avaliando em x=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}5707963268 (peguei o valor padrão de \pi/2): f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{-\pi/2}-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\approx e^{-1{,}5707963}-1\approx 0{,}2080-1=-0{,}7920<0.
  • Como f(0)>0 e f(\pi/2)<0, há pelo menos uma raiz positiva em (0,\,\pi/2). Como queremos a primeira raiz positiva, esse intervalo captura a primeira interseção (pequena) entre as curvas.
  1. Determinar número de iterações necessárias:
  • Comprimento inicial b_0-a_0=\dfrac{\pi}{2}-0\approx 1{,}5707963.
  • Queremos \dfrac{b_n-a_n}{2}\le 10^{-2}. O n satisfaz n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{1{,}5707963}{0{,}01}\right)\right\rceil =\left\lceil \log_{2}(157{,}079{,}63)\right\rceil \approx\left\lceil 7{,}297\ldots\right\rceil =8.Logo executamos 8 iterações.
  1. Executando 8 iterações (novamente cada linha: [a,b], m, f(m), escolha do próximo intervalo). (Nos valores de \sin e e^{-x} usei valores numéricos conhecidos ou aproximados com 6 dígitos para tornar a conta no papel viável.)
  • Iteração 1: [a,b]=[0,\,1{,}5707963],\qquad m=0{,}7853981634\\ (\pi/4).
f(0{,}7853981)=e^{-0{,}7853981}-\sin(0{,}7853981)\approx 0{,}455938-0{,}7071068=-0{,}2511688<0.
Raiz em [0,\,0{,}7853981].
  • Iteração 2: [a,b]=[0,\,0{,}7853981],\qquad m=0{,}3926990817\\ (\pi/8).
f(0{,}3926991)\approx e^{-0{,}3926991}-\sin(0{,}3926991)\approx 0{,}675144-0{,}3826834=0{,}2924606>0.
Raiz em [0{,}3926991,\,0{,}7853981].
  • Iteração 3: [a,b]=[0{,}3926991,\,0{,}7853981],\qquad m=0{,}5890486225.
f(0{,}5890486)\approx e^{-0{,}5890486}-\sin(0{,}5890486)\approx 0{,}554936-0{,}5555702\approx -0{,}0006342<0.
Raiz em [0{,}3926991,\,0{,}5890486].
  • Iteração 4: [a,b]=[0{,}3926991,\,0{,}5890486],\qquad m=0{,}4908738521.
f(0{,}4908739)\approx e^{-0{,}4908739}-\sin(0{,}4908739)\approx 0{,}612332-0{,}4713967=0{,}1409353>0.
Raiz em [0{,}4908739,\,0{,}5890486].
  • Iteração 5: [a,b]=[0{,}4908739,\,0{,}5890486],\qquad m=0{,}5399612373.
f(0{,}5399612)\approx e^{-0{,}5399612}-\sin(0{,}5399612)\approx 0{,}582789-0{,}5141027=0{,}0686863>0.
Raiz em [0{,}5399612,\,0{,}5890486].
  • Iteração 6: [a,b]=[0{,}5399612,\,0{,}5890486],\qquad m=0{,}5645049299.
f(0{,}5645049)\approx e^{-0{,}5645049}-\sin(0{,}5645049)\approx 0{,}568557-0{,}5358900=0{,}032667>0.
Raiz em [0{,}5645049,\,0{,}5890486].
  • Iteração 7: [a,b]=[0{,}5645049,\,0{,}5890486],\qquad m=0{,}5767767762.
f(0{,}5767768)\approx e^{-0{,}5767768}-\sin(0{,}5767768)\approx 0{,}561673-0{,}547996=0{,}013677>0.
Raiz em [0{,}5767768,\,0{,}5890486].
  • Iteração 8: [a,b]=[0{,}5767768,\,0{,}5890486],\qquad m=0{,}5829126993.
f(0{,}5829127)\approx e^{-0{,}5829127}-\sin(0{,}5829127)\approx 0{,}558304-0{,}551315\approx 0{,}006989>0.
Como f(0{,}5890486)<0, a raiz final está em [0{,}5829127,\,0{,}5890486].
  1. Verificação do critério de parada e aproximação final:
  • Comprimento final do intervalo b-a\approx 0{,}5890486-0{,}5829127=0{,}0061359.
  • Metade desse comprimento é \dfrac{b-a}{2}\approx 0{,}00306795 \le 0{,}01. Portanto atingimos a precisão exigida.
  • Aproximação da raiz (ponto médio do intervalo final): x_{\text{aprox}}=\frac{0{,}5829126993+0{,}5890486225}{2}\approx 0{,}5859806609.Essa é uma aproximação da primeira raiz positiva com erro garantido \le 0{,}01.

Resposta

x \approx 0,65234375
x \approx 0,5859806609

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