(Método da Bissecção)
- Encontrar a raiz de
contida no intervalo
, com
.
- Encontrar a primeira raíz positiva da função
, com
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Primeiro item: Encontrar a raiz de
contida no intervalo com tolerância . - Segundo item: Encontrar a primeira raiz positiva da função
com tolerância .
Informações relevantes dadas:
- Nos dois casos a tarefa pede aplicar o método da bissecção (portanto devemos procurar intervalos onde a função seja contínua e mude de sinal).
- A tolerância é
, ou seja queremos que o erro absoluto aproximado da raiz seja no máximo .
Passo 2
Breve aula sobre o Método da Bissecção (didático e passo a passo).
- Ideia principal: se
é contínua em e , então existe pelo menos uma raiz em . A bissecção reduz repetidamente o comprimento do intervalo que contém a raiz, escolhendo o subintervalo onde o sinal muda. - Cada iteração:
- Calcula-se o ponto médio
. - Avalia-se
. - Se
, a nova caixa é ; caso contrário (se ) a nova caixa é . (Se encontrou-se a raiz exata.)
- Calcula-se o ponto médio
- Critério de parada prático: parar quando o erro máximo garantido for pequeno. O erro no método da bissecção é menor ou igual a metade do comprimento do intervalo atual. Ou seja, se
é o comprimento do intervalo na iteração , então a raiz está a uma distância do ponto médio. Logo podemos parar quando - Número mínimo de iterações necessário (garantido) para que
é onde é o intervalo inicial. - Observação prática: em prova, calcule
com a fórmula acima para saber quantas iterações executar no papel, e então faça as iterações verificando o sinal de a cada passo.
Passo 3
Resolvendo o primeiro item: raiz de
em
.
- Verificação de continuidade e troca de sinal:
- A função
é contínua para , logo é contínua em . - Avaliando as extremidades (peguei estes valores direto do enunciado do intervalo):
Como
e
, existe uma raiz no intervalo por troca de sinal.
- Determinar número de iterações necessárias:
- Comprimento inicial
. - Queremos
. O número mínimo satisfaz Então faremos 6 iterações (isso garante o erro ).
- Executando as 6 iterações (em cada linha: intervalo
, ponto médio , valor , escolha do próximo intervalo).
- Iteração 1:
Como
e
, a raiz está em
.
- Iteração 2:
Raiz em
.
- Iteração 3:
Raiz em
.
- Iteração 4:
Raiz em
.
- Iteração 5:
Raiz em
.
- Iteração 6:
Após essa iteração a raiz está em
.
- Verificação do critério de parada:
- Comprimento final do intervalo
. - Metade desse comprimento é
. Portanto a precisão exigida foi alcançada. - Aproximação da raiz (ponto médio do intervalo final):
Essa é uma aproximação com erro garantido .
Passo 4
Agora resolvendo o segundo item: primeira raiz positiva de
.
- Encontrar um intervalo inicial com troca de sinal (procura do primeiro zero positivo).
- Avaliando em
: - Avaliando em
(peguei o valor padrão de ): - Como
e , há pelo menos uma raiz positiva em . Como queremos a primeira raiz positiva, esse intervalo captura a primeira interseção (pequena) entre as curvas.
- Determinar número de iterações necessárias:
- Comprimento inicial
. - Queremos
. O satisfaz Logo executamos 8 iterações.
- Executando 8 iterações (novamente cada linha:
, , , escolha do próximo intervalo). (Nos valores de e usei valores numéricos conhecidos ou aproximados com 6 dígitos para tornar a conta no papel viável.)
- Iteração 1:
Raiz em
.
- Iteração 2:
Raiz em
.
- Iteração 3:
Raiz em
.
- Iteração 4:
Raiz em
.
- Iteração 5:
Raiz em
.
- Iteração 6:
Raiz em
.
- Iteração 7:
Raiz em
.
- Iteração 8:
Como
, a raiz final está em
.
- Verificação do critério de parada e aproximação final:
- Comprimento final do intervalo
. - Metade desse comprimento é
. Portanto atingimos a precisão exigida. - Aproximação da raiz (ponto médio do intervalo final):
Essa é uma aproximação da primeira raiz positiva com erro garantido .