(Método da Iteração Linear) Dada a função
, obter sua raíz contida no intervalo
, com um erro
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz de
que está contida no intervalo
, com erro absoluto
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Função:
. - Intervalo onde existe a raiz:
. - Precisão exigida para a aproximação da raiz:
.
A tarefa é aplicar o Método da Iteração Linear (uma forma de iteração de ponto fixo) para obter uma aproximaçãoda raiz com erro menor ou igual a .
Passo 2
Explicando o método (aula rápida, sem pular etapas). A ideia é transformar a equação
numa iteração do tipo
onde
é uma função contratante no intervalo considerado. Uma construção útil e simples é escolher
com constante
adequada. Neste caso:
- Se
for contratante (ou seja, existir com tal que para todo em ), então a iteração converge para a raiz que satisfaz . - Uma estimativa prática de erro a posteriori é:
Portanto, se conseguirmos um
e garantir
, temos aproximação com o erro desejado.
Passo 3
Cálculo de
e escolha de
. Primeiro derivada:
No intervalo
temos estimativas:
Logo
para
.
Queremos
com
. Como
é positivo no intervalo, escolhemos
. Tomando uma escolha simples e segura
, calculamos os extremos de
:
Portanto
Concluímos que
é contratante com constante
.
Passo 4
Verificação de que
mapeia o intervalo em si (condição útil para começar a iteração). Com
calculamos as imagens das extremidades (pegando
nos pontos extremos; aqui foi usado explicitamente que os valores de
foram obtidos avaliando a função):
- Em
: . Então
que está em
.
- Em
: . Então
que também está em
.
Como é contínua e as imagens das extremidades estão dentro do intervalo, é razoável (e suficiente para o método) usar um ponto inicial em
; a iteração permanecerá dentro do intervalo e convergirá.
Como
Passo 5
Critério de parada. Usaremos a cota a posteriori para o erro:
Queremos
. Basta garantir
Com
temos
. Logo o critério numérico é
Vamos iterar até que a diferença entre iterações seja menor ou igual a
.
Passo 6
Escolha do ponto inicial e primeira iteração. Tomemos
(ponto central do intervalo, é uma escolha comum). A regra de iteração é
Calculemos
:
Primeiro .
Então
Primeiro
Então
Passo 7
Segunda iteração e verificação do critério. Avaliamos
em
. Usando aproximação por série/truncamento (os valores numéricos de
e operações foram avaliados explicitamente):
Logo
Agora calculemos a diferença
Compare com o limite pedido
: temos
. Portanto o critério é satisfeito na segunda iteração.
Passo 8
Verificação da cota do erro e conclusão. Usando a desigualdade a posteriori,
Isso mostra que
já estaria com erro menor que
, e
é uma aproximação ainda melhor. Assim a iteração convergiu rapidamente: em duas iterações a diferença entre iterações garantiu o erro exigido.
Passo 9
Resultado numérico final (aproximação da raiz). Tomando
como aproximação (valor mais refinado) obtemos:
Arredondando a uma precisão compatível com o pedido (
) podemos apresentar a raiz aproximada como
.