(Método da Iteração Linear) Dada a função f(x)=x^{2}+3 x-\cos (x)-2.45, obter sua raíz contida no intervalo [0.5,1], com um erro \epsilon \leq 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz de f(x)=x^{2}+3x-\cos(x)-2.45 que está contida no intervalo [0{,}5,1], com erro absoluto \epsilon \leq 10^{-2}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Função: f(x)=x^{2}+3x-\cos(x)-2.45.
  • Intervalo onde existe a raiz: [0{,}5,1].
  • Precisão exigida para a aproximação da raiz: \epsilon \leq 10^{-2}.
    A tarefa é aplicar o Método da Iteração Linear (uma forma de iteração de ponto fixo) para obter uma aproximação x da raiz com erro menor ou igual a 10^{-2}.

Passo 2

Explicando o método (aula rápida, sem pular etapas). A ideia é transformar a equação f(x)=0 numa iteração do tipo
x_{n+1}=g(x_n),
onde g é uma função contratante no intervalo considerado. Uma construção útil e simples é escolher
g(x)=x+c\,f(x),
com constante c adequada. Neste caso:
  • Se g for contratante (ou seja, existir q com 0\le q<1 tal que |g'(x)|\le q para todo x em [0{,}5,1]), então a iteração converge para a raiz r que satisfaz r=g(r).
  • Uma estimativa prática de erro a posteriori é:
|r-x_n|\le \frac{|x_{n+1}-x_n|}{1-q}.
Portanto, se conseguirmos um q<1 e garantir |x_{n+1}-x_n|/(1-q)\le \epsilon, temos aproximação com o erro desejado.

Passo 3

Cálculo de f'(x) e escolha de c. Primeiro derivada:
f'(x)=2x+3+\sin(x).
No intervalo [0{,}5,1] temos estimativas:
f'(0{,}5)=2\cdot0{,}5+3+\sin(0{,}5)\approx 1+3+0{,}479425\approx 4{,}479425,
f'(1)=2\cdot1+3+\sin(1)\approx 2+3+0{,}841471\approx 5{,}841471.
Logo f'(x)\in[4{,}479425,\,5{,}841471] para x\in[0{,}5,1].
Queremos g'(x)=1+c\,f'(x) com |g'(x)|\le q<1. Como f'(x) é positivo no intervalo, escolhemos c<0. Tomando uma escolha simples e segura c=-0{,}18, calculamos os extremos de g':
g'_{\min}=1-0{,}18\cdot 5{,}841471\approx 1-1{,}051465\approx -0{,}051465,
g'_{\max}=1-0{,}18\cdot 4{,}479425\approx 1-0{,}806297\approx 0{,}193703.
Portanto
|g'(x)|\le q:=0{,}193703<1\quad\text{para todo }x\in[0{,}5,1].
Concluímos que g é contratante com constante q\approx 0{,}193703.

Passo 4

Verificação de que g mapeia o intervalo em si (condição útil para começar a iteração). Com g(x)=x-0{,}18\,f(x) calculamos as imagens das extremidades (pegando f nos pontos extremos; aqui foi usado explicitamente que os valores de f foram obtidos avaliando a função):
  • Em x=0{,}5: f(0{,}5)=0{,}5^2+3\cdot0{,}5-\cos(0{,}5)-2{,}45\approx -1{,}577583. Então
g(0{,}5)=0{,}5-0{,}18\cdot(-1{,}577583)\approx 0{,}5+0{,}283964\approx 0{,}783964,
que está em [0{,}5,1].
  • Em x=1: f(1)=1+3-\cos(1)-2{,}45\approx 1{,}009698. Então
g(1)=1-0{,}18\cdot 1{,}009698\approx 1-0{,}181746\approx 0{,}818254,
que também está em [0{,}5,1].
Como g é contínua e as imagens das extremidades estão dentro do intervalo, é razoável (e suficiente para o método) usar um ponto inicial em [0{,}5,1]; a iteração permanecerá dentro do intervalo e convergirá.

Passo 5

Critério de parada. Usaremos a cota a posteriori para o erro:
|r-x_n|\le \frac{|x_{n+1}-x_n|}{1-q}.
Queremos |r-x_n|\le \epsilon=10^{-2}. Basta garantir
|x_{n+1}-x_n|\le (1-q)\epsilon.
Com q\approx 0{,}193703 temos 1-q\approx 0{,}806297. Logo o critério numérico é
|x_{n+1}-x_n|\le 0{,}806297\times 10^{-2}\approx 0{,}00806297.
Vamos iterar até que a diferença entre iterações seja menor ou igual a 0{,}00806297.

Passo 6

Escolha do ponto inicial e primeira iteração. Tomemos x_0=0{,}75 (ponto central do intervalo, é uma escolha comum). A regra de iteração é
x_{n+1}=x_n-0{,}18\,f(x_n).
Calculemos x_1:
Primeiro f(0{,}75)=0{,}75^2+3\cdot0{,}75-\cos(0{,}75)-2{,}45\approx -0{,}3691889.
Então
x_1=0{,}75-0{,}18\cdot(-0{,}3691889)\approx 0{,}75+0{,}06645399\approx 0{,}81645399.

Passo 7

Segunda iteração e verificação do critério. Avaliamos f em x_1. Usando aproximação por série/truncamento (os valores numéricos de \cos e operações foram avaliados explicitamente):
f(x_1)\approx -0{,}018825\quad(\text{avaliado em }x_1\approx 0{,}816454).
Logo
x_2=x_1-0{,}18\cdot f(x_1)\approx 0{,}81645399-0{,}18\cdot(-0{,}018825)\approx 0{,}81645399+0{,}0033885\approx 0{,}81984249.
Agora calculemos a diferença
|x_2-x_1|\approx 0{,}0033885.
Compare com o limite pedido 0{,}00806297: temos 0{,}0033885<0{,}00806297. Portanto o critério é satisfeito na segunda iteração.

Passo 8

Verificação da cota do erro e conclusão. Usando a desigualdade a posteriori,
|r-x_1|\le \frac{|x_2-x_1|}{1-q}\approx \frac{0{,}0033885}{0{,}806297}\approx 0{,}0042<0{,}01.
Isso mostra que x_1 já estaria com erro menor que 10^{-2}, e x_2 é uma aproximação ainda melhor. Assim a iteração convergiu rapidamente: em duas iterações a diferença entre iterações garantiu o erro exigido.

Passo 9

Resultado numérico final (aproximação da raiz). Tomando x_2 como aproximação (valor mais refinado) obtemos:
x_2\approx 0{,}81984249.
Arredondando a uma precisão compatível com o pedido ( \epsilon=10^{-2}) podemos apresentar a raiz aproximada como x\approx 0{,}8198.

Resposta

\displaystyle x\approx 0{,}8198

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