Um café é servido a uma temperatura inicial de 90^{\circ} \mathrm{C} em uma sala cuja temperatura ambiente é constante em 20^{\circ} \mathrm{C}. De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura T(t) do café é proporcional à diferença entre a temperatura do café e a do ambiente:
\frac{d T}{d t}=-k(T(t)-20)
onde k é uma constante de resfriamento.
Admita k=0.1 (em unidades \min ^{-1} ) e condição inicial T(0)=90.
(a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Use o método de Euler com passo h=1 para aproximar a temperatura do café nos instantes t=1,2, \ldots, 10 minutos. Organize os valores em uma tabela.
(b) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Repita a aproximação utilizando passo h=0.5 até t=10, e compare os resultados com o caso h=1 \mathrm{em} uma tabela comparativa.
(c) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Determine a solução exata da EDO e calcule os valores verdadeiros de T(t) para t=1,2, \ldots, 10. Compare os erros absolutos e relativos dos dois experimentos (passos h=1 e h=0.5 ).
(d) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Construa um gráfico mostrando, no mesmo sistema de eixos, as soluções aproximadas para h=1, para h=0.5 e a solução exata. Comente sobre a influência do tamanho do passo na precisão.
(e) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Estime numericamente, usando os valores mais precisos obtidos, o instante em que a temperatura do café chega a 40^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado trata da Lei de Resfriamento de Newton
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T(t)-20\bigr),
com k=0.1,\min^{-1} e T(0)=90^\circ\mathrm C.
Precisamos de duas coisas:
Aplicar o método de Euler explícito com passo h=1 e h=0.5 para obter aproximações de T(t) em t=1,2,\dots,10.
Encontrar a solução exata
T_{\rm exata}(t)=20+70e^{-0.1t},
calcular os valores verdadeiros em t=1,2,\dots,10, comparar erros, esboçar o gráfico e estimar o instante em que T=40^\circ\mathrm C.
Em todo o intervalo os erros com h=0.5 são cerca de metade dos de h=1.
Passo 5
Para o gráfico, plote em um mesmo sistema de eixos:
os pontos \{(n,T_n)\} para Euler h=1,
os pontos para Euler h=0.5,
a curva contínua T_{\rm exata}(t)=20+70e^{-0.1t}.
Comentário: quanto menor h, mais próximo fica o método de Euler da solução exata; com h=0.5 a curva está visivelmente mais próxima.
Passo 6
Estimativa do instante em que T(t)=40^\circ\mathrm C pela solução exata: