Resfriamento de um Café (Método de Euler) pontos]
Um café é servido a uma temperatura inicial de 90^{\circ} \mathrm{C} em uma sala cuja temperatura ambiente é constante em 20^{\circ} \mathrm{C}. De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura T(t) do café é proporcional à diferença entre a temperatura do café e a do ambiente:
\frac{d T}{d t}=-k(T(t)-20)
onde k é uma constante de resfriamento.
Admita k=0.1 (em unidades \min ^{-1} ) e condição inicial T(0)=90.
(a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Use o método de Euler com passo h=1 para aproximar a temperatura do café nos instantes t=1,2, \ldots, 10 minutos. Organize os valores em uma tabela.
(b) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Repita a aproximação utilizando passo h=0.5 até t=10, e compare os resultados com o caso h=1 \mathrm{em} uma tabela comparativa.
(c) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Determine a solução exata da EDO e calcule os valores verdadeiros de T(t) para t=1,2, \ldots, 10. Compare os erros absolutos e relativos dos dois experimentos (passos h=1 e h=0.5 ).
(d) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Construa um gráfico mostrando, no mesmo sistema de eixos, as soluções aproximadas para h=1, para h=0.5 e a solução exata. Comente sobre a influência do tamanho do passo na precisão.
(e) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Estime numericamente, usando os valores mais precisos obtidos, o instante em que a temperatura do café chega a 40^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata da Lei de Resfriamento de Newton
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T(t)-20\bigr),
com k=0.1, \min^{-1} e T(0)=90^\circ\mathrm C.
Precisamos de duas coisas:
  1. Aplicar o método de Euler explícito com passo h=1 e h=0.5 para obter aproximações de T(t) em t=1,2,\dots,10.
  2. Encontrar a solução exata
T_{\rm exata}(t)=20+70e^{-0.1t},
calcular os valores verdadeiros em t=1,2,\dots,10, comparar erros, esboçar o gráfico e estimar o instante em que T=40^\circ\mathrm C.

Passo 2

Método de Euler com h=1. A fórmula de iteração é
T_{n+1}=T_n + h\bigl[-0.1\,(T_n-20)\bigr] =0.9\,T_n +2.
Partindo de T_0=90, obtemos:
t (min) Euler h=1 \,^\circ\mathrm C
1 T_1=0.9\cdot90+2=83.00
2 T_2=0.9\cdot83.00+2=76.70
3 T_3=0.9\cdot76.70+2=71.03
4 T_4=0.9\cdot71.03+2=65.93
5 T_5=0.9\cdot65.93+2=61.33
6 T_6=0.9\cdot61.33+2=57.20
7 T_7=0.9\cdot57.20+2=53.48
8 T_8=0.9\cdot53.48+2=50.13
9 T_9=0.9\cdot50.13+2=47.12
10 T_{10}=0.9\cdot47.12+2=44.41

Passo 3

Método de Euler com h=0.5. A iteração é
T_{m+1}=T_m +0.5\bigl[-0.1\,(T_m-20)\bigr] =0.95\,T_m +1,
com T_0=90 em t_0=0 e pontos em incrementos de 0.5. Extraímos os valores em cada minuto:
t (min) Euler h=0.5 \,^\circ\mathrm C
1 83.18
2 77.02
3 71.46
4 66.44
5 61.91
6 57.82
7 54.14
8 50.81
9 47.80
10 45.09
Comparando lado a lado:
t h=1 h=0.5
1 83.00 83.18
2 76.70 77.02
3 71.03 71.46
4 65.93 66.44
5 61.33 61.91
6 57.20 57.82
7 53.48 54.14
8 50.13 50.81
9 47.12 47.80
10 44.41 45.09

Passo 4

Solução exata:
T_{\rm exata}(t)=20+70e^{-0.1t}.
Calculando para t=1,2,\dots,10:
t T_{\rm exata}(t)
1 83.34
2 77.31
3 71.86
4 66.92
5 62.46
6 58.42
7 54.76
8 51.45
9 48.46
10 45.75
Erros absolutos e relativos em t=10:
  • h=1: erro absoluto \bigl|44.41-45.75\bigr|=1.34, erro relativo 1.34/45.75\approx2.93\%.
  • h=0.5: erro absoluto \bigl|45.09-45.75\bigr|=0.66, erro relativo 0.66/45.75\approx1.44\%.
Em todo o intervalo os erros com h=0.5 são cerca de metade dos de h=1.

Passo 5

Para o gráfico, plote em um mesmo sistema de eixos:
  • os pontos \{(n,T_n)\} para Euler h=1,
  • os pontos para Euler h=0.5,
  • a curva contínua T_{\rm exata}(t)=20+70e^{-0.1t}.
    Comentário: quanto menor h, mais próximo fica o método de Euler da solução exata; com h=0.5 a curva está visivelmente mais próxima.

Passo 6

Estimativa do instante em que T(t)=40^\circ\mathrm C pela solução exata:
40=20+70e^{-0.1t} \;\Longrightarrow\; e^{-0.1t}=\frac{20}{70}=\tfrac{2}{7} \;\Longrightarrow\; t=-10\ln\!\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)\approx12.53\\ \min.

Resposta

(a) Tabela Euler h=1:
83.00,76.70,71.03,65.93,61.33,57.20,53.48,50.13,47.12,44.41.
(b) Tabela Euler h=0.5:
83.18,77.02,71.46,66.44,61.91,57.82,54.14,50.81,47.80,45.09.
(c) Solução exata
\displaystyle T(t)=20+70e^{-0.1t},
valores verdadeiros 83.34,77.31,71.86,66.92,62.46,58.42,54.76,51.45,48.46,45.75.
Erros h=1 até \approx2.9\%, h=0.5 até \approx1.4\%.
(d) No gráfico, curvas de Euler convergem para a curva exata à medida que h diminui, mostrando maior precisão.
(e) Instante para T=40^\circ\mathrm C:
\displaystyle t\approx12.53\\ \min.

Exercícios relacionados