Trajetória de uma Granada (Runge-Kutta de 3^{\underline{\mathrm{a}}} ordem) [2,0 pontos]
Seja y(t) a altitude de uma granada. Esta pode ser descrita pela equação diferencial
y^{\prime \prime}(t)=-g+0,2 y(t), \quad\left(g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right),
onde y é a altura em metros e t o tempo em segundos.
Sabe-se que a granada é lançada no instante t=0 a partir do solo, isto é y(0)=0, com velocidade inicial y^{\prime}(0)=18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A granada explode após 5 segundos, quando deveria estar a 40 m do chão.
Tarefa: Resolva numericamente este problema usando o método de Runge-Kutta de 3^{\underline{\mathbf{a}}} ordem com passo h=1,0. Apresente uma tabela com os valores de t_{n}, y\left(t_{n}\right) e y^{\prime}\left(t_{n}\right) para cada nó t_{n} no intervalo 0 \leq t \leq 5, e responda se a granada explode antes, depois ou exatamente na altura prevista. Justifique sua conclusão apresentando a diferença numérica entre y(5) e 40 m .

Passo 1

O enunciado pede para resolver numericamente, pelo método de Runge–Kutta de 3ª ordem com passo h=1, a equação
y''(t) = -g + 0{,}2\,y(t),\quad g=9{,}8,
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=18, no intervalo 0\le t\le5, e comparar y(5) com 40. Vamos transformar a EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem e aplicar RK3.

Passo 2

Definimos
x_1(t)=y(t),\quad x_2(t)=y'(t).
O sistema equivalente é
\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = -9{,}8 + 0{,}2\,x_1. \end{cases}
Com vetor \mathbf{x}=(x_1,x_2) e passo h=1.

Passo 3

O método de Runge–Kutta de 3ª ordem (Kutta clássico) para \mathbf{x}'=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}) é:
\begin{aligned} \mathbf{k}_1 &= \mathbf{f}(t_n,\mathbf{x}_n),\\\ \mathbf{k}_2 &= \mathbf{f}\bigl(t_n+\tfrac h2,\;\mathbf{x}_n+\tfrac h2\,\mathbf{k}_1\bigr),\\\ \mathbf{k}_3 &= \mathbf{f}\bigl(t_n+h,\;\mathbf{x}_n - h\,\mathbf{k}_1 + 2h\,\mathbf{k}_2\bigr),\\\ \mathbf{x}_{n+1} &= \mathbf{x}_n + \tfrac h6\bigl(\mathbf{k}_1 + 4\,\mathbf{k}_2 + \mathbf{k}_3\bigr). \end{aligned}

Passo 4

Aplicando passo a passo de t=0 a t=5 com h=1, obtemos:
t_n y(t_n) y'(t_n)
0 0{,}0000 18{,}0000
1 10{,}4333 9{,}6733
2 14{,}0013 2{,}6702
3 10{,}9273 -4{,}2959
4 0{,}1428 -12{,}5938
5 -21{,}0137 -23{,}9503

Passo 5

Comparando y(5) = -21{,}0137 com 40, a diferença numérica é
y(5) - 40 = -21{,}0137 - 40 = -61{,}0137\\ \text{m}.
Como y(5)<40, a granada não atinge os 40 m em t=5 s: explode bem abaixo da altura prevista.

Resposta

A granada explode antes de atingir 40 m, com erro de -61{,}0137 m em relação à altura prevista.

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