1. Métodos de regressão foram usadas para analisar dados provenientes de um estudo de investigação da relação entre a temperatura ((x)) da superfície da estrada e a deflexão(y) do pavimento. Um resumo das grandezas é : (n=20, \Sigma y_{i}=12,75 ; \Sigma y_{i} { }^{2}=886) (; \Sigma x_{i}=1478 ; \Sigma x_{i}^{2}=143.215,8) e (\Sigma x_{i} y_{i}=1083,67).
    (a) Calcule a estimativa de mínimos quadrados da inclinação e da interseção. Estime (\sigma^{2}).
    (b) Use a equação da linha ajustada para prever que valor da deflexão do pavimento seria observado quando a temperatura da superfície fosse (x=85^{\circ} \mathrm{F}).
    (c) Qual será a deflexão média do pavimento quando a temperatura da superfície for (90^{\circ} \mathrm{F}) ?
    (d) Teste a significância da regressão, usando (a=0.05). que conclusões você pode tirar?
    (e) Estime o coeficiente de determinação (R^{2}), Interprete.

Passo 1

Resumindo: temos n=20 pares (x_i,y_i) com
\sum y_i=12,75, \sum y_i^2=886, \sum x_i=1478, \sum x_i^2=143215{,}8 e \sum x_i y_i=1083{,}67.
O conteúdo é regressão linear simples por mínimos quadrados. Vamos precisar das fórmulas
\bar x=\frac{\sum x_i}{n},\quad \bar y=\frac{\sum y_i}{n},
S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n},\quad S_{xy}=\sum x_i y_i-\frac{\sum x_i\sum y_i}{n},\quad S_{yy}=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n},
\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\quad \hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\,\bar x,
\text{SSE}=S_{yy}-\hat\beta_1\,S_{xy},\quad \hat\sigma^2=\frac{\text{SSE}}{n-2},
predições \hat y(x_0)=\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_0, teste H_0:\beta_1=0 usando
\mathrm{se}(\hat\beta_1)=\sqrt{\hat\sigma^2/S_{xx}} e estatística
t=\hat\beta_1/\mathrm{se}(\hat\beta_1), e finalmente
R^2=\frac{\text{SSR}}{\text{SST}} =\frac{S_{yy}-\text{SSE}}{S_{yy}}.

Passo 2

Calculemos as quantidades fundamentais:
\bar x=\tfrac{1478}{20}=73{,}9, \bar y=\tfrac{12{,}75}{20}=0{,}6375.
S_{xx}=143215{,}8-\frac{1478^2}{20} =143215{,}8-109224{,}2 =33991{,}6,
S_{xy}=1083{,}67-\frac{1478\cdot12{,}75}{20} =1083{,}67-942{,}225 =141{,}445,
S_{yy}=886-\frac{12{,}75^2}{20} =886-8{,}128125 =877{,}871875.

Passo 3

Estimativas dos coeficientes:
\hat\beta_1=\frac{141{,}445}{33991{,}6}\approx0{,}004161, \qquad \hat\beta_0=0{,}6375-0{,}004161\times73{,}9\approx0{,}3297.

Passo 4

Resíduo e variância:
\text{SSE}=S_{yy}-\hat\beta_1\,S_{xy} =877{,}8719-0{,}004161\times141{,}445 \approx877{,}283,
\hat\sigma^2=\frac{877{,}283}{20-2} =\frac{877{,}283}{18} \approx48{,}74.

Passo 5

Predição em x=85:
\hat y(85)=0{,}3297+0{,}004161\times85 \approx0{,}6834.

Passo 6

Deflexão média em x=90:
\hat y(90)=0{,}3297+0{,}004161\times90 \approx0{,}7042.

Passo 7

Teste de significância de \beta_1:
\mathrm{se}(\hat\beta_1) =\sqrt{\frac{48{,}74}{33991{,}6}} \approx0{,}0379, \quad t=\frac{0{,}004161}{0{,}0379}\approx0{,}11,
graus de liberdade 18, valor crítico \pm2{,}101.
Como |t|<2{,}101, não rejeitamos H_0: a inclinação não é significativa a \alpha=0{,}05.

Passo 8

Coeficiente de determinação:
\text{SSR}=S_{yy}-\text{SSE}\approx0{,}5889, \qquad R^2=\frac{0{,}5889}{877{,}8719}\approx0{,}00067\;(0{,}067\%).
Isso indica que a temperatura do pavimento praticamente não explica a variação da deflexão.

Resposta

(a) \displaystyle \hat\beta_1\approx0{,}004161,\;\hat\beta_0\approx0{,}3297,\;\hat\sigma^2\approx48{,}74.
(b) \hat y(85)\approx0{,}6834.
(c) \hat y(90)\approx0{,}7042.
(d) t\approx0{,}11, df=18, |t|<2{,}101 \Rightarrow não significante a \alpha=0{,}05.
(e) R^2\approx0{,}00067 (0,067 %), ou seja, quase nenhuma variabilidade de y é explicada por x.

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