Seja X: \Omega \rightarrow C uma v.a. contínua tal que
f_{X}(x)=\frac{2 x+1}{K}, 0 \leq x \leq 2 .
a. Encontre o valor de K.
b. Calcule F_{X}(x):=\mathbb{P}(X \leq x) para todo x \in \mathbb{R}.
c. Calcule \mathbb{E}(X).
d. Calcule \operatorname{var}(X).

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua X com densidade
f_{X}(x)=\frac{2x+1}{K},\quad 0\le x\le2,
e pede:
– (a) normalizar a densidade (achar K);
– (b) a função de distribuição F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x);
– (c) o valor esperado \mathbb{E}(X);
– (d) a variância \mathrm{var}(X).

Passo 2

Para achar K impomos
\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx =\int_{0}^{2}\frac{2x+1}{K}\,dx =1.
Calculamos
\int_{0}^{2}(2x+1)\,dx =\Bigl[x^2+x\Bigr]_{0}^{2} =4+2=6.
Logo
\frac{1}{K}\cdot6=1 \quad\Longrightarrow\quad K=6.

Passo 3

Para a função de distribuição acumulada:
– Se x<0, então F_X(x)=0 pois a densidade está em [0,2].
– Se 0\le x\le2,
F_X(x) =\int_{0}^{x}\frac{2t+1}{6}\,dt =\frac{1}{6}\Bigl[t^2+t\Bigr]_{0}^{x} =\frac{x^2+x}{6}.
– Se x>2, então F_X(x)=1.
Em forma única:
F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\ \dfrac{x^2+x}{6},&0\le x\le2,\\\\ 1,&x>2. \end{cases}

Passo 4

Para \mathbb{E}(X) usamos
\mathbb{E}(X) =\int_{0}^{2}x\,f_X(x)\,dx =\int_{0}^{2}x\frac{2x+1}{6}\,dx =\frac{1}{6}\int_{0}^{2}(2x^2+x)\,dx.
Calculando
\int_{0}^{2}(2x^2+x)\,dx =\Bigl[\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{16}{3}+2 =\frac{22}{3},
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\mathbb{E}(X) =\frac{1}{6}\cdot\frac{22}{3} =\frac{22}{18} =\frac{11}{9}.

Passo 5

Para \mathrm{var}(X) precisamos de \mathbb{E}(X^2):
\mathbb{E}(X^2) =\int_{0}^{2}x^2\frac{2x+1}{6}\,dx =\frac{1}{6}\int_{0}^{2}(2x^3+x^2)\,dx.
Calculando
\int_{0}^{2}(2x^3+x^2)\,dx =\Bigl[\tfrac{2x^4}{4}+\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} =8+\frac{8}{3} =\frac{32}{3},
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\mathbb{E}(X^2) =\frac{1}{6}\cdot\frac{32}{3} =\frac{32}{18} =\frac{16}{9}.
Portanto
\mathrm{var}(X) =\mathbb{E}(X^2)-\bigl(\mathbb{E}(X)\bigr)^2 =\frac{16}{9}-\Bigl(\frac{11}{9}\Bigr)^2 =\frac{16}{9}-\frac{121}{81} =\frac{144-121}{81} =\frac{23}{81}.

Resposta

(a) K=6.\) (b) \[F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\ \dfrac{x^2+x}{6},&0\le x\le2,\\\\ 1,&x>2. \end{cases}
(c) \mathbb{E}(X)=\tfrac{11}{9}.\] (d) \(\mathrm{var}(X)=\tfrac{23}{81}.

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