(UF-MG) Um mapa está desenhado em uma escala em que 2 cm correspondem a 5 km . Uma região assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3 cm de lado.
A área real dessa região é de:
a) 37,50 \mathrm{~km}^{2}
b) 56,25 \mathrm{~km}^{2}
c) 67,50 \mathrm{~km}^{2}
d) 22,50 \mathrm{~km}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A escala do mapa é: 2\\ \text{cm} correspondem a 5\\ \text{km}.
  • No mapa, a região assinalada é um quadrado de lado 3\\ \text{cm}.
    O que se pede: calcular a área real dessa região (em \text{km}^2).

Passo 2

Primeiro converto a escala para saber quantos quilômetros correspondem a 1\\ \text{cm}. Como 2\\ \text{cm} \longleftrightarrow 5\\ \text{km}, dividindo ambos os lados por 2 obtemos:
1\\ \text{cm} \longleftrightarrow \frac{5}{2}=2,5\\ \text{km}.
Isto significa que cada centímetro no mapa equivale a 2,5\\ \text{km} no terreno.

Passo 3

Agora calculo o comprimento real do lado do quadrado. O lado no mapa é 3\\ \text{cm}, então:
\text{lado real} = 3\\ \text{cm}\times 2,5\\ \text{km/cm} = 3\times 2,5\\ \text{km}.
Fazendo a multiplicação:
3\times 2,5 = 7,5,
portanto o lado real mede \,7,5\\ \text{km}.

Passo 4

Explicando a ideia de área: para um quadrado a área é o lado ao quadrado. Em geral, se a escala linear converte 1\\ \text{cm} em k\\ \text{km}, então uma área de 1\\ \text{cm}^2 no mapa corresponde a k^2\\ \text{km}^2 na realidade, porque área é produto de duas dimensões lineares. Assim podemos calcular a área real de duas maneiras equivalentes:
\text{Área real} = (\text{lado real})^2 \qquad\text{ou}\qquad \text{Área real} = (\text{lado no mapa})^2\cdot k^2.ÁÁ

Passo 5

Uso a segunda forma, com k=2,5\\ \text{km/cm} e lado no mapa 3\\ \text{cm}.
Primeiro a área no mapa:
(3\\ \text{cm})^2 = 9\\ \text{cm}^2.
Depois o fator de conversão de área:
k^2 = (2,5)^2 = 6,25\\ \text{km}^2/\text{cm}^2.
Multiplicando:
\text{Área real} = 9\cdot 6,25 = 56,25\\ \text{km}^2.Á
(Um jeito rápido de ver 9\cdot6,25: 6,25\cdot10-6,25=62,5-6,25=56,25.)

Resposta

b) 56,25\\ \text{km}^2

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