(UF-MG) Sejam
polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que
. Considerando-se essas afirmações, é incorreto afirmar que:
a) se 10 é raiz de
, então 10 também é raiz de
.
b)
c)
d)
a) se 10 é raiz de
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre dois polinômios
e
. A gente sabe que:
E também que:
Aqui, estamos lidando com divisão de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como dividir um polinômio por outro e comparar os coeficientes resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar
por
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, adicionamos o resto
ao resultado:
Esse polinômio resultante deve ser igual a
:
Passo 4
Vamos igualar os coeficientes dos mesmos graus:
-
Para
: - Daqui,
.
- Daqui,
-
Para
: - Sabendo que
, temos .
- Sabendo que
-
Para
: . -
Para o termo independente:
.
Passo 5
Agora, vamos analisar cada afirmativa para ver qual está incorreta:
a) Se 10 é raiz de
, então
.
Substituindo
em
:
Portanto, 10 também é raiz de
. A afirmação está correta.
b)
.
Vamos calcular
:
Usando
e expressões de
e
:
A afirmação está correta.
c)
.
Já vimos que
. A afirmação está incorreta.
d)
.
Encontramos que
. A afirmação está correta.
Resposta
A alternativa c)
é incorreta.