(UF-MG) Sejam p(x)=4 x^3+b x^2+c x+d e q(x)=m x^2+n x-3 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que p(x)=(2 x-6) cdot q(x)+x-10. Considerando-se essas afirmações, é incorreto afirmar que:
a) se 10 é raiz de q(x), então 10 também é raiz de p(x).
b) p(3)=-7
c) d=18
d) m=2

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre dois polinômios p(x) e q(x) . A gente sabe que:
p(x) = 4x^3 + bx^2 + cx + d
q(x) = mx^2 + nx - 3
E também que:
p(x) = (2x - 6) cdot q(x) + x - 10
Aqui, estamos lidando com divisão de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como dividir um polinômio por outro e comparar os coeficientes resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar (2x - 6) por q(x) :
(2x - 6)(mx^2 + nx - 3) = 2x cdot mx^2 + 2x cdot nx + 2x cdot (-3) - 6 cdot mx^2 - 6 cdot nx - 6 cdot (-3)
Simplificando:
= 2m x^3 + 2n x^2 - 6x - 6m x^2 - 6n x + 18
= 2m x^3 + (2n - 6m) x^2 + (-6 - 6n) x + 18

Passo 3

Agora, adicionamos o resto x - 10 ao resultado:
2m x^3 + (2n - 6m) x^2 + (-6 - 6n) x + 18 + x - 10
= 2m x^3 + (2n - 6m) x^2 + (-5 - 6n) x + 8
Esse polinômio resultante deve ser igual a p(x) :
4x^3 + bx^2 + cx + d = 2m x^3 + (2n - 6m) x^2 + (-5 - 6n) x + 8

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes dos mesmos graus:
  • Para x^3 : 4 = 2m
    • Daqui, m = 2 .
  • Para x^2 : b = 2n - 6m
    • Sabendo que m = 2 , temos b = 2n - 12 .
  • Para x : c = -5 - 6n .
  • Para o termo independente: d = 8 .

Passo 5

Agora, vamos analisar cada afirmativa para ver qual está incorreta:
a) Se 10 é raiz de q(x) , então q(10) = 0 .
Substituindo x = 10 em p(x) :
p(10) = (2 cdot 10 - 6) cdot q(10) + 10 - 10 = 14 cdot 0 + 0 = 0
Portanto, 10 também é raiz de p(x) . A afirmação está correta.
b) p(3) = -7 .
Vamos calcular p(3) :
p(3) = 4 cdot 3^3 + b cdot 3^2 + c cdot 3 + d = 108 + 9b + 3c + d
Usando d = 8 e expressões de b e c :
= 108 + 9(2n - 12) + 3(-5 - 6n) + 8
= 108 + 18n - 108 - 15 - 18n + 8
= -7
A afirmação está correta.
c) d = 18 .
Já vimos que d = 8 . A afirmação está incorreta.
d) m = 2 .
Encontramos que m = 2 . A afirmação está correta.

Resposta

A alternativa c) d = 18 é incorreta.

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