Um micro-organismo foi cultivado em um reator de mistura com volume útil de 2 L , a 28^{\circ} \mathrm{C}. Verificou-se que a fonte de carbono e energia esgotou-se em 10h de fermentação. Sabendo-se que \mathrm{t}_{\mathrm{LAG}}=0 \mathrm{~h}, \mathrm{Y}_{\mathrm{X} / \mathrm{S}}=0,47 \mathrm{~g} / \mathrm{g}, \mu \max =0,23 \mathrm{~h}^{-1} e \mathrm{X}_{0}=0,2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, qual a concentração inicial do substrato limitante?

Passo 1

O enunciado descreve um cultivo em batelada (batch) de volume útil de 2 L, sem fase de adaptação ( t_{\rm LAG}=0) e com fonte de carbono e energia totalmente consumida em 10 h. O conteúdo é cinética de crescimento microbiano em regime exponencial, usando a equação
\frac{dX}{dt} = \mu_{\max}X
e a relação de rendimento
Y_{X/S} = \frac{\Delta X}{\Delta S}.

Passo 2

Para encontrar a concentração de biomassa ao tempo de exaustão ( t_f=10 h), integramos a equação de crescimento exponencial:
X(t) = X_0 \exp\bigl(\mu_{\max} t\bigr).
Substituindo \mu_{\max}=0,23\,\mathrm{h}^{-1}, X_0=0,2\,\mathrm{g/L} e t=10\,\mathrm{h}, temos
X(10) = 0,2 \exp(0,23\times10) = 0,2\exp(2,3)\approx 1,995\;\mathrm{g/L}.

Passo 3

O ganho de biomassa durante a fermentação é
\Delta X = X(10) - X_0 = 1,995 - 0,2 = 1,795\;\mathrm{g/L}.

Passo 4

Usando o rendimento celular Y_{X/S}=0,47\,\mathrm{g\,X/g\,S}, a quantidade de substrato consumido é
\Delta S = \frac{\Delta X}{Y_{X/S}} = \frac{1,795}{0,47}\approx 3,82\;\mathrm{g/L}.
Como todo o substrato inicial foi consumido, a concentração inicial do substrato é
S_0 = \Delta S \approx 3,82\;\mathrm{g/L}.

Resposta

A concentração inicial do substrato limitante é aproximadamente 3,82\;\mathrm{g/L}.

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