Um micrometeorito de massa 10^-9 kg passa sobre a Terra com velocidade 0,01 c. Determine o valor do momento e da energia do sistema medidos em S^prime, o qual move-se em relacão à Terra com 0,5 c na mesma direção do micrometeorito. Determine sua energia e seu momento linear por um observador em S^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um micrometeorito com massa 10^-9 kg que passa sobre a Terra com uma velocidade de 0,01,c, onde c é a velocidade da luz. Queremos descobrir o momento (ou quantidade de movimento) e a energia desse micrometeorito medidos em um outro referencial S', que está se movendo em relação à Terra a 0,5,c na mesma direção do micrometeorito. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos da relatividade especial, especificamente as fórmulas para transformar energia e momento entre diferentes referenciais em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas da relatividade especial para energia E e momento linear p:
E = gamma m c^2
p = gamma m v
Onde:
  • m é a massa do objeto,
  • v é a velocidade do objeto,
  • c é a velocidade da luz,
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por gamma = 1raiz1 - v^2c^2.

Passo 3

No referencial da Terra ( S), temos:
  • Massa m = 10^-9 kg,
  • Velocidade v = 0,01,c.
Vamos calcular o fator de Lorentz gamma para essa velocidade:
gamma = 1raiz1 - (0,01,cc)^2 = 1raiz1 - 0,0001 approx 1,00005

Passo 4

Agora, calculamos a energia E no referencial da Terra:
E = gamma m c^2 = 1,00005 times 10^-9,kg times (3 times 10^8,m/s)^2 = 1,00005 times 10^-9 times 9 times 10^16 = 9,00045 times 10^7,J
E o momento p:
p = gamma m v = 1,00005 times 10^-9,kg times 0,01 times 3 times 10^8,m/s = 1,00005 times 10^-9 times 3 times 10^6 = 3,00015 times 10^-3,kg cdot m/s

Passo 5

Agora, queremos transformar esses valores para o referencial S', que está se movendo a 0,5,c na mesma direção do micrometeorito. Para isso, vamos usar as transformações de Lorentz para energia e momento:
E' = gamma' (E - beta' p c)
p' = gamma' (p - beta' Ec)
Onde:
  • beta' = v'c = 0,5,
  • gamma' = 1raiz1 - beta'^2 = 1raiz1 - 0,25 = 1raiz0,75 approx 1,1547.

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:
E' = 1,1547 (9,00045 times 10^7,J - 0,5 times 3,00015 times 10^-3,kg cdot m/s times 3 times 10^8,m/s)
Vamos calcular o termo dentro dos parênteses:
9,00045 times 10^7,J - 0,5 times 3,00015 times 10^-3 times 3 times 10^8 = 9,00045 times 10^7 - 0,5 times 9,00045 times 10^5 = 9,00045 times 10^7 - 4,500225 times 10^5 approx 8,95544775 times 10^7,J
Então,
E' = 1,1547 times 8,95544775 times 10^7 approx 1,0336 times 10^8,J

Passo 7

Agora, vamos calcular p':
p' = 1,1547 (3,00015 times 10^-3,kg cdot m/s - 0,5 times 9,00045 times 10^7,J3 times 10^8,m/s)
Primeiro, calculamos cada termo:
0,5 times 9,00045 times 10^73 times 10^8 = 4,500225 times 10^73 times 10^8 = 0,15,kg cdot m/s
Então,
p' = 1,1547 (3,00015 times 10^-3 - 0,15) approx 1,1547 times (-0,14699985) approx -0,169,kg cdot m/s

Resposta

No referencial S', o micrometeorito tem uma energia de aproximadamente 1,034 times 10^8,J e um momento linear de aproximadamente -0,169,kg cdot m/s.

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