Se a \mid b c e (a, b)=1, prove que a \mid c.

Passo 1

O enunciado diz que temos inteiros a,b,c tais que
a \mid b\,c
e
(a,b)=1.
Queremos provar que
a \mid c.
O conteúdo principal que vamos usar é o Lema de Bézout, que afirma que se (a,b)=1 então existem inteiros x e y tais que
a\,x + b\,y = 1.

Passo 2

Como (a,b)=1, pelo Lema de Bézout existem inteiros x e y tais que
a\,x + b\,y = 1.

Passo 3

Multiplicamos a identidade de Bézout por c, obtendo
a\,(x\,c) + b\,(y\,c) = c.
Agora, como a\mid b\,c, o termo b\,(y\,c) também é múltiplo de a. Logo, ambos os termos do lado esquerdo são múltiplos de a, o que implica que o lado direito, c, também o é. Em outras palavras, a\mid c.

Resposta

a \mid c.

Exercícios relacionados