Suponha que
dentro da esfera unitária
. Explique por que
não pode ser tangente a
em todo ponto. Dê uma interpretação física do resultado.
Passo 1
O enunciado considera um campo vetorial
definido dentro da bola unitária
cuja divergência satisfaz
em todo ponto de
. A fronteira dessa bola é a esfera
Queremos mostrar que
não pode ser tangente a
em todos os pontos. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss).
Passo 2
Se
fosse tangente a
em todo ponto, então a componente normal de
na superfície seria zero. Chamando
o vetor normal unitário apontando para fora de
, teríamos
e, portanto, o fluxo de
através de
seria
Passo 3
Por outro lado, o Teorema da Divergência afirma que
Como
em todo
, o integrando é estritamente positivo, o que implica
Isso contradiz a hipótese de fluxo zero obtida no passo anterior.
Passo 4
A contradição mostra que não é possível ter
em todos os pontos de
. Logo, existem pontos em
onde
, ou seja,
não é puramente tangente a
.
Resposta
Não é possível que
seja tangente a
em todo ponto, pois a divergência positiva força um fluxo líquido de saída da esfera, enquanto uma tangência total implicaria fluxo zero.
Interpretação física: pensar em
como o campo de velocidade de um fluido.
significa que há “fontes” gerando fluido no interior da bola; esse fluido extra só pode escapar atravessando a superfície, de modo que não pode haver apenas escoamento tangencial.