Suponha que \operatorname{div} F>0 dentro da esfera unitária S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+\right. \left.z^{2}=1\right\}. Explique por que F não pode ser tangente a S em todo ponto. Dê uma interpretação física do resultado.

Passo 1

O enunciado considera um campo vetorial F definido dentro da bola unitária
V = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\le1\}
cuja divergência satisfaz \mathrm{div}F>0 em todo ponto de V. A fronteira dessa bola é a esfera
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}.
Queremos mostrar que F não pode ser tangente a S em todos os pontos. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Se F fosse tangente a S em todo ponto, então a componente normal de F na superfície seria zero. Chamando n o vetor normal unitário apontando para fora de V, teríamos
F\cdot n = 0 \quad\text{em toda a superfície }S,í
e, portanto, o fluxo de F através de S seria
\Phi = \iint_{S} F\cdot n \,dS = 0.

Passo 3

Por outro lado, o Teorema da Divergência afirma que
\iint_{S} F\cdot n \,dS \;=\;\iiint_{V} \mathrm{div}F \,dV.
Como \mathrm{div}F>0 em todo V, o integrando é estritamente positivo, o que implica
\iiint_{V} \mathrm{div}F \,dV > 0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S} F\cdot n \,dS > 0.
Isso contradiz a hipótese de fluxo zero obtida no passo anterior.

Passo 4

A contradição mostra que não é possível ter F\cdot n=0 em todos os pontos de S. Logo, existem pontos em S onde F\cdot n\neq0, ou seja, F não é puramente tangente a S.

Resposta

Não é possível que F seja tangente a S em todo ponto, pois a divergência positiva força um fluxo líquido de saída da esfera, enquanto uma tangência total implicaria fluxo zero.
Interpretação física: pensar em F como o campo de velocidade de um fluido. \mathrm{div}F>0 significa que há “fontes” gerando fluido no interior da bola; esse fluido extra só pode escapar atravessando a superfície, de modo que não pode haver apenas escoamento tangencial.

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