Se
é um número inteiro positivo qualquer, mostre que
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, o maior divisor comum de
e
é
. Em outras palavras, queremos provar que
Passo 2
Vamos usar a ideia de que qualquer divisor comum de dois números também divide a sua diferença. Seja
um divisor comum de
e de
. Então
Passo 3
Como
divide
e também
, ele divide a diferença entre eles:
O único divisor positivo de
é
próprio, logo
.
Passo 4
Concluímos que o único divisor comum de
e
é
. Portanto,