Se n é um número inteiro positivo qualquer, mostre que (n, n+1)=1.

Passo 1

O problema pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, o maior divisor comum de n e n+1 é 1. Em outras palavras, queremos provar que
\gcd(n,n+1)=1.

Passo 2

Vamos usar a ideia de que qualquer divisor comum de dois números também divide a sua diferença. Seja d um divisor comum de n e de n+1. Então
d\mid n \quad\text{e}\quad d\mid (n+1).

Passo 3

Como d divide n+1 e também n, ele divide a diferença entre eles:
d \mid \bigl((n+1)-n\bigr) \;\Longrightarrow\; d\mid 1.
O único divisor positivo de 1 é 1 próprio, logo d=1.

Passo 4

Concluímos que o único divisor comum de n e n+1 é 1. Portanto,
\gcd(n,n+1)=1.

Resposta

(n,n+1)=1

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