Minimize f(x, y)=raizx^2+y^2 2 x+4 y-15=0

Passo 1

Queremos encontrar o ponto (x,y) que minimiza a distância à origem dada por raizx^2+y^2, sujeito à reta 2x+4y-15=0. Vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Reparamos que minimizar raizx^2+y^2 é o mesmo que minimizar x^2+y^2, pois a raiz quadrada é crescente. Então definimos g(x,y)=x^2+y^2 e minimizamos g com a mesma restrição.

Passo 3

Montamos o Lagrangeano para g com restrição 2x+4y=15:
L(x,y,lambda)=x^2+y^2-lambda(2x+4y-15)

Passo 4

Derivando em relação a x e y e igualando a zero, obtemos as condições de otimalidade:
partialLpartial x=2x-2lambda=0Rightarrow x=lambda
partialLpartial y=2y-4lambda=0Rightarrow y=2lambda

Passo 5

Agora aplicamos a restrição 2x+4y=15 substituindo x=lambda e y=2lambda:
2lambda + 4(2lambda) = 10lambda = 15 Rightarrow lambda = 1.5, x = 1.5, y = 3

Passo 6

Finalmente, calculamos o valor mínimo de f:
f(1.5,3)=raiz1.5^2+3^2=raiz2.25+9=raiz11.25=3raiz52

Resposta

O valor mínimo de f é 3raiz52, obtido no ponto (1.5,3).

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