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Resolver a equação diferencial:
dotx+2 x=de

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial dotx + 2x = de com condição inicial x(0^-) = 0. Esse problema é uma equação linear de primeira ordem forçada por um impulso de Dirac: vamos usar fator integrante e a propriedade do delta de Dirac.

Passo 2

Para t neq 0 não há impulso e a equação fica homogênea: dotx + 2x = 0. A solução geral da homogênea é xh(t) = C e^-2t, onde C é uma constante que pode ser diferente antes e depois do impulso.

Passo 3

Para capturar o efeito do impulso no instante t=0, integramos a equação de 0^- até 0^+:
integral0^-^0^+ dotx,dt + 2integral0^-^0^+ x,dt = integral0^-^0^+ de
O segundo integral tende a zero (intervalo infinitesimal) e o primeiro dá x(0^+) - x(0^-), enquanto o lado direito é 1. Assim, x(0^+) - x(0^-) = 1.

Passo 4

Como x(0^-) = 0, concluímos que x(0^+) = 1. Esse será o valor inicial para a solução homogênea após o impulso.

Passo 5

Para t > 0, aplicamos a solução homogênea com C = x(0^+) = 1, resultando em x(t) = e^-2t. Para t < 0, não houve força e fica x(t) = 0.

Resposta

x(t) = e^{-2t} u(t)

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