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Golis <br> Campus Soiània | Sistemas Lineares |
Resolver a equação diferencial:
Passo 1
No enunciado temos a equação diferencial
com condição inicial
. Esse problema é uma equação linear de primeira ordem forçada por um impulso de Dirac: vamos usar fator integrante e a propriedade do delta de Dirac.
Passo 2
Para
não há impulso e a equação fica homogênea:
. A solução geral da homogênea é
, onde
é uma constante que pode ser diferente antes e depois do impulso.
Passo 3
Para capturar o efeito do impulso no instante
, integramos a equação de
até
:
O segundo integral tende a zero (intervalo infinitesimal) e o primeiro dá
, enquanto o lado direito é 1. Assim,
.
Passo 4
Como
, concluímos que
. Esse será o valor inicial para a solução homogênea após o impulso.
Passo 5
Para
, aplicamos a solução homogênea com
, resultando em
. Para
, não houve força e fica
.
Resposta
x(t) = e^{-2t} u(t)