Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1n^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série alternada aqui, que é tipo uma soma onde os termos mudam de sinal: positivo, negativo, positivo e assim por diante. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1n^3 / 2
Aqui, a gente quer descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dela chega a um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos alternam, como temos aqui com (-1)^n+1. Esse tipo de série pode convergir mesmo que a série com os termos positivos não convirja, dependendo de certos critérios.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada do tipo sumn=1^infty (-1)^n an converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos an são decrescentes: an+1 <= an para todo n.
  2. O limite dos termos tende a zero: limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = 1n^3/2.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição:
Os termos an = 1n^3/2 são decrescentes? Sim, porque conforme n aumenta, o denominador cresce mais, fazendo com que an diminua.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição:
O limite dos termos tende a zero?
limn to infty 1n^3/2 = 0
Sim, os termos tendem a zero conforme n cresce.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1n^3 / 2
converge.

Resposta

A série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1n^3 / 2 converge.

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