Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série alternada aqui, que é tipo uma soma onde os termos mudam de sinal: positivo, negativo, positivo e assim por diante. A série que vamos analisar é:
Aqui, a gente quer descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dela chega a um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos alternam, como temos aqui com
. Esse tipo de série pode convergir mesmo que a série com os termos positivos não convirja, dependendo de certos critérios.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada do tipo
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite dos termos tende a zero:
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição:
Os termos
são decrescentes? Sim, porque conforme
aumenta, o denominador cresce mais, fazendo com que
diminua.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição:
O limite dos termos tende a zero?
Sim, os termos tendem a zero conforme
cresce.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série alternada
converge.