Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=2^infty(-1)^n+1 cdot 1ln n

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma série alternada, ou seja, que muda de sinal a cada termo. A questão é saber se essa série converge ou diverge. Vamos precisar usar o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos sumn=2^infty(-1)^n+1 cdot 1ln n. Aqui, an = 1ln n.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos an são decrescentes?
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero?

Passo 4

Vamos ver se an é decrescente. Observando 1ln n, conforme n aumenta, ln n também aumenta, então 1ln n diminui. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de an quando n vai para o infinito:
limn to infty 1ln n = 0
Então, o limite é zero.

Passo 6

Como os termos são decrescentes e o limite deles é zero, segundo o Teste da Série Alternada, a série sumn=2^infty(-1)^n+1 cdot 1ln n converge.

Passo 7

Mas, vamos verificar se a série converge absolutamente. Olhando para a série dos valores absolutos:
sumn=2^infty 1ln n
Essa série não converge, pois é similar à integral integral 1ln x dx, que diverge.

Resposta

A série alternada sumn=2^infty(-1)^n+1 cdot 1ln n converge de forma condicional.

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