Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma série alternada, ou seja, que muda de sinal a cada termo. A questão é saber se essa série converge ou diverge. Vamos precisar usar o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos
. Aqui,
.
Passo 3
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
- Os termos
são decrescentes? - O limite de
quando tende ao infinito é zero?
Passo 4
Vamos ver se
é decrescente. Observando
, conforme
aumenta,
também aumenta, então
diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Então, o limite é zero.
Passo 6
Como os termos são decrescentes e o limite deles é zero, segundo o Teste da Série Alternada, a série
converge.
Passo 7
Mas, vamos verificar se a série converge absolutamente. Olhando para a série dos valores absolutos:
Essa série não converge, pois é similar à integral
, que diverge.
Resposta
A série alternada
converge de forma condicional.