Uma mistura gasosa contendo 88 \% de \mathrm{CH}_{4}, 4 \% de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}, 5 \% \mathrm{n}-\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8} e 3 \% e \mathrm{n}-\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{10} estão a 300 K e 500 KPa , passará por um processo de limpeza por contato com um óleo não volátil num absorvedor de gás. O objetivo do processo é recuperar o líquido efluente tanto quanto possível dos hidrocarbonetos passados na alimentação. Com estas informações, calcule:
a) A concentração total do gás na alimentação.
b) A densidade do gás na alimentação.
c) A composição do gás na alimentação, expressa em termos da fração mássica de cada componente.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Composição da mistura gasosa (presumida como porcentagens molares, isto é, frações molares em %):
    • 88\% de \mathrm{CH_4}
    • 4\% de \mathrm{C_2H_6}
    • 5\% de \mathrm{n\text{-}C_3H_8}
    • 3\% de \mathrm{n\text{-}C_4H_{10}}
  • Condições da alimentação:
    • Temperatura T = 300\\ \mathrm{K}.
    • Pressão P = 500\\ \mathrm{kPa} = 500000\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede que se calcule:
a) A concentração total do gás na alimentação (concentração molar total, c, em \mathrm{mol\cdot m^{-3}}).
b) A densidade do gás na alimentação (massa por volume, \rho, em \mathrm{kg\cdot m^{-3}}).
c) A composição do gás na alimentação expressa como fração mássica (ou seja, a fração de massa de cada componente).
Informações adicionais que vou usar (valores de massa molar, comuns e necessários):
  • Massa molar aproximada: \mathrm{CH_4}:\\ M_{\mathrm{CH_4}}=16{,}04\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • \mathrm{C_2H_6}:\\ M_{\mathrm{C_2H_6}}=30{,}07\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • \mathrm{n\text{-}C_3H_8}:\\ M_{\mathrm{C_3H_8}}=44{,}10\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • \mathrm{n\text{-}C_4H_{10}}:\\ M_{\mathrm{C_4H_{10}}}=58{,}12\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Vou assumir explicitamente que as porcentagens dadas são percentagens molares (frações molares). Não foi pedida outra interpretação no enunciado, e isso é a hipótese padrão.

Passo 2

Cálculo da concentração total do gás na alimentação usando a lei dos gases ideais.
A ideia/conceito usado: para um gás ideal, a relação entre pressão, número de mols, volume e temperatura é a lei dos gases ideais. Se queremos a concentração molar total (número de mols por volume), definimos c como c = \dfrac{n}{V}. Da lei dos gases ideais vale
PV = nRT \quad\Longrightarrow\quad \frac{n}{V} = \frac{P}{RT}.
Portanto a concentração molar total é
c=\frac{P}{R\,T}.
Explicando cada símbolo:
  • P é a pressão absoluta em pascal ( \mathrm{Pa}),
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}),
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (lembre: 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}),
  • c fica em \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.
Agora substituo os valores numéricos com atenção às unidades:
c=\frac{P}{R\,T}=\frac{500000\\ \mathrm{Pa}}{8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times 300\\ \mathrm{K}}.
Faço as contas (mostrando passo a passo):
R\,T = 8{,}314462618\times 300 = 2494{,}3387854\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
c=\frac{500000}{2494{,}3387854}\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}\approx 200{,}46\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.

Passo 3

Cálculo da massa molar média da mistura (molar weight média), passo necessário para passar de concentração molar para massa por volume.
Conceito: a massa molar média da mistura \bar{M} (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}} ou \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}) é a soma das frações molares multiplicadas pelas massas molares de cada componente:
\bar{M}=\sum_i y_i M_i,
onde y_i é a fração molar do componente i (por exemplo y_{\mathrm{CH_4}}=0{,}88) e M_i é a massa molar do componente i.
As frações molares (convertendo % para fração) são:
y_{\mathrm{CH_4}}=0{,}88,\quad y_{\mathrm{C_2H_6}}=0{,}04,\quad y_{\mathrm{C_3H_8}}=0{,}05,\quad y_{\mathrm{C_4H_{10}}}=0{,}03.
Calculo \bar{M} em \mathrm{g\cdot mol^{-1}} primeiro (para ficar mais intuitivo):
\begin{aligned} y_{\mathrm{CH_4}}M_{\mathrm{CH_4}}&=0{,}88\times 16{,}04=14{,}1152\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}},\\[4pt] y_{\mathrm{C_2H_6}}M_{\mathrm{C_2H_6}}&=0{,}04\times 30{,}07=1{,}2028\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}},\\[4pt] y_{\mathrm{C_3H_8}}M_{\mathrm{C_3H_8}}&=0{,}05\times 44{,}10=2{,}2050\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}},\\[4pt] y_{\mathrm{C_4H_{10}}}M_{\mathrm{C_4H_{10}}}&=0{,}03\times 58{,}12=1{,}7436\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}. \end{aligned}
Somando:
\bar{M}=14{,}1152+1{,}2028+2{,}2050+1{,}7436=19{,}2666\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Para usar com a concentração em \mathrm{mol\cdot m^{-3}} converto para \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}:
\bar{M}=19{,}2666\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}0192666\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.]

Passo 4

Cálculo da densidade do gás na alimentação.
Conceito: densidade \rho (massa por volume) relaciona-se com concentração molar c pela massa molar média:
\rho = c \,\bar{M}.
Explicando: c diz quantos mols há por metro cúbico; multiplicando pelo kg por mol ( \bar{M}) obtém-se kg por metro cúbico.
Substituindo os valores (usando c do Passo 2 e \bar{M} do Passo 3):
\rho = 200{,}46\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}\times 0{,}0192666\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
Faço a multiplicação:
\rho \approx 3{,}8622\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.

Passo 5

Cálculo das frações mássicas de cada componente (o que o item (c) pede).
Conceito: a fração mássica w_i do componente i é dada por
w_i=\frac{y_i M_i}{\bar{M}},
onde y_i é a fração molar, M_i a massa molar do componente e \bar{M} a massa molar média da mistura.
Já calculei y_i M_i no Passo 3 (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}); uso-os e divido por \bar{M}=19{,}2666\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Cálculos:
\begin{aligned} w_{\mathrm{CH_4}}&=\frac{14{,}1152}{19{,}2666}=0{,}7326\quad(\text{ou }73{,}26\%),\\[4pt] w_{\mathrm{C_2H_6}}&=\frac{1{,}2028}{19{,}2666}=0{,}0624\quad(\text{ou }6{,}24\%),\\[4pt] w_{\mathrm{C_3H_8}}&=\frac{2{,}2050}{19{,}2666}=0{,}1144\quad(\text{ou }11{,}44\%),\\[4pt] w_{\mathrm{C_4H_{10}}}&=\frac{1{,}7436}{19{,}2666}=0{,}0905\quad(\text{ou }9{,}05\%). \end{aligned}
Verificação rápida: 0{,}7326+0{,}0624+0{,}1144+0{,}0905 \approx 1{,}000 (soma próxima de 1 por arredondamentos), logo as frações estão consistentes.]

Resposta

c \approx 200{,}46\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}\n
\rho \approx 3{,}8622\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\n
w_{\mathrm{CH_4}} \approx 0{,}7326\\ (73{,}26\%)\n
w_{\mathrm{C_2H_6}} \approx 0{,}0624\\ (6{,}24\%)\n
w_{\mathrm{C_3H_8}} \approx 0{,}1144\\ (11{,}44\%)\n
w_{\mathrm{C_4H_{10}}} \approx 0{,}0905\\ (9{,}05\%)

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