\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-\cos (1 / n)}{1 / n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-\cos\!\left(1/n\right)}{1/n^{2}}
e pede que a gente chegue a uma conclusão sobre ela (se converge ou diverge, e por que). Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \dfrac{1-\cos\!\left(1/n\right)}{1/n^{2}}.
  • Não há outros dados; cabe analisar o comportamento do termo geral quando n\to\infty.

Passo 2

Primeiro simplifico o termo geral para uma forma mais conveniente de estudar o limite quando n\to\infty. Como o denominador é 1/n^{2}, tenho:
\frac{1-\cos\!\left(1/n\right)}{1/n^{2}} = n^{2}\bigl(1-\cos\!\left(1/n\right)\bigr).
Então o termo geral da série é \;a_n = n^{2}\bigl(1-\cos\!\left(1/n\right)\bigr).

Passo 3

Para decidir sobre convergência de uma série, a primeira checagem é sempre: o termo geral tende a zero? Aqui vamos calcular
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} n^{2}\bigl(1-\cos\!\left(1/n\right)\bigr).
Uma técnica natural é fazer a substituição x=1/n. Quando n\to\infty temos x\to 0^{+}. Reescrevendo o limite em x:
\lim_{n\to\infty} n^{2}\bigl(1-\cos\!\left(1/n\right)\bigr) = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1-\cos x}{x^{2}}.

Passo 4

Agora calculo \lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}. Uma forma direta e elementar é usar a regra de L’Hôpital (porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando x\to 0):
  • Derivando numerador e denominador uma vez:
\frac{d}{dx}(1-\cos x)=\sin x,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x}.
  • Conhecemos o limite fundamental \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1. Assim
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{2}.
(Observação didática: outra forma de ver isso é pela expansão de Taylor \cos x = 1 - x^{2}/2 + o(x^{2}), que leva ao mesmo resultado.)

Passo 5

Como o limite do termo geral não é zero (é \tfrac{1}{2}), a série não pode convergir. Lembrete do teste necessário para convergência: se \sum a_n converge então necessariamente a_n\to 0. Aqui a_n\not\to 0, logo a série diverge.

Passo 6

Posso também observar que os termos são positivos para todo n (pois 1-\cos(1/n)>0 para n finito), e como a_n\to\tfrac{1}{2} os termos permanecem cerca de \tfrac{1}{2} para n grande. Isso implica que as somas parciais crescem sem limite (somar aproximadamente \tfrac{1}{2} muitas vezes dá infinito), ou seja, a série diverge para +\infty.

Resposta

A série diverge (os termos não tendem a zero): \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos(1/n)}{1/n^{2}}=\tfrac{1}{2}.

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