Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que a gente chegue a uma conclusão sobre ela (se converge ou diverge, e por que). Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - Não há outros dados; cabe analisar o comportamento do termo geral quando
.
Passo 2
Primeiro simplifico o termo geral para uma forma mais conveniente de estudar o limite quando
. Como o denominador é
, tenho:
Então o termo geral da série é
Passo 3
Para decidir sobre convergência de uma série, a primeira checagem é sempre: o termo geral tende a zero? Aqui vamos calcular
Uma técnica natural é fazer a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo o limite em
:
Passo 4
Agora calculo
. Uma forma direta e elementar é usar a regra de L’Hôpital (porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
):
- Derivando numerador e denominador uma vez:
Pela regra de L’Hôpital,
- Conhecemos o limite fundamental
. Assim
Portanto
(Observação didática: outra forma de ver isso é pela expansão de Taylor
, que leva ao mesmo resultado.)
Passo 5
Como o limite do termo geral não é zero (é
), a série não pode convergir. Lembrete do teste necessário para convergência: se
converge então necessariamente
. Aqui
, logo a série diverge.
Passo 6
Posso também observar que os termos são positivos para todo
(pois
para
finito), e como
os termos permanecem cerca de
para
grande. Isso implica que as somas parciais crescem sem limite (somar aproximadamente
muitas vezes dá infinito), ou seja, a série diverge para
.
Resposta
A série diverge (os termos não tendem a zero):
.