Resolva pelo método da eliminação gaussiana:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2 x+3 y+z=10 \\\ x+2 y+3 z=13 \end{array}\right.
(a) Apresente a matriz aumentada e o escalonamento.
(b) Faça a retro-substituição. (c) Explique por que há solução única.

Passo 1

Resumindo, temos o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\\ 2x + 3y + z = 10,\\\ x + 2y + 3z = 13,
e queremos resolvê-lo pelo método da eliminação de Gauss (alinhamento, escalonamento, retro-substituição) e justificar a existência de solução única.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 2 & 3 & 1 & 10\\\\ 1 & 2 & 3 & 13 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos a primeira coluna abaixo do pivô em R_1: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & -1 & -2\\\\ 0 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right]

Passo 4

Agora eliminamos o segundo elemento da coluna 2 em R_3, usando o pivô em R_2: R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Assim a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{array}\right]
que já está em forma triangular superior.

Passo 5

Fazemos a retro-substituição na ordem R_3\to R_2\to R_1:
Da terceira linha,
3z = 9 \quad\Longrightarrow\quad z = 3.
Da segunda linha,
y - z = -2 \quad\Longrightarrow\quad y - 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Da primeira linha,
x + y + z = 6 \quad\Longrightarrow\quad x + 1 + 3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Passo 6

A cada etapa tivemos pivôs não nulos 1, 1, 3, ou seja, três pivôs para três variáveis. Isso equivale a dizer que a matriz dos coeficientes é invertível (determinante não zero), garantindo existência e unicidade de solução.

Resposta

\displaystyle x=2,\;y=1,\;z=3.

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