Misturam-se 100 g de etanol ( \mathrm{c}=2,44 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ) a 60^{\circ} \mathrm{C} com 200 g de água ( \mathrm{c}=4,18 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1} \mathrm{K}^{-1} ) a 20^{\circ} \mathrm{C}, em recipiente adiabático.
a) Determine a temperatura final de equilíbrio.
b) Explique por que o valor obtido pode diferir de resultados experimentais.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Massa de etanol: m_{\text{et}}=100\\ \mathrm{g}.
  • Capacidade térmica do etanol: c_{\text{et}}=2,44\\ \mathrm{J\\ g^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Temperatura inicial do etanol: T_{\text{et,i}}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de água: m_{\text{ág}}=200\\ \mathrm{g}á.
  • Capacidade térmica da água: c_{\text{ág}}=4,18\\ \mathrm{J\\ g^{-1}\\ K^{-1}}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{ág,i}}=20^\circ\mathrm{C}á.
  • O recipiente é adiabático (isto é, não troca calor com o ambiente).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f da mistura.
(b) Explicar por que o valor obtido teoricamente pode diferir do resultado experimental.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar):
  • Num sistema isolado termicamente (adiabático), a energia interna total se conserva. Isso significa que o calor perdido por partes quentes é igual ao calor ganho por partes frias.
  • Para um corpo que muda de temperatura sem mudança de fase, o calor trocado é dado por Q = m\,c\,(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}), onde:
    • m é a massa (em gramas, no nosso caso),
    • c é a capacidade térmica específica (em \mathrm{J\\ g^{-1}\\ K^{-1}}),
    • T_{\text{final}} e T_{\text{inicial}} são temperaturas (em ^\circ\mathrm{C} ou K; diferenças de temperatura são iguais nas duas unidades).
  • Como o sistema é adiabático, a soma algébrica dos calores trocados entre etanol e água deve ser zero: Q_{\text{et}} + Q_{\text{ág}} = 0.áAqui Q_{\text{et}} será negativo se o etanol perder calor (esfriar) e Q_{\text{ág}}á positivo se a água ganhar calor (aquecer).

Passo 3

Montando a equação e isolando T_f:
  • Escrevendo explicitamente os calores: Q_{\text{et}} = m_{\text{et}}\,c_{\text{et}}\,(T_f - T_{\text{et,i}}),
Q_{\text{ág}} = m_{\text{ág}}\,c_{\text{ág}}\,(T_f - T_{\text{ág,i}}).áááá
  • Conservação de energia: m_{\text{et}}\,c_{\text{et}}\,(T_f - T_{\text{et,i}}) + m_{\text{ág}}\,c_{\text{ág}}\,(T_f - T_{\text{ág,i}}) = 0.ááá
  • Agrupando termos em T_f e isolando: T_f\,(m_{\text{et}}c_{\text{et}} + m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}) = m_{\text{et}}c_{\text{et}}T_{\text{et,i}} + m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}T_{\text{ág,i}}.áááááPortanto a fórmula direta é T_f = \frac{m_{\text{et}}c_{\text{et}}T_{\text{et,i}} + m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}T_{\text{ág,i}}}{m_{\text{et}}c_{\text{et}} + m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}}.ááááá
  • Observação didática: usamos temperaturas em ^\circ\mathrm{C} porque na expressão aparecem apenas diferenças de temperatura; somas ponderadas como acima também são corretas se todas as temperaturas estiverem na mesma escala (Celsius ou Kelvin).

Passo 4

Substituição dos valores e cálculo passo a passo das partes do numerador e do denominador:
  • Calculando m_{\text{et}}c_{\text{et}}T_{\text{et,i}}: m_{\text{et}}c_{\text{et}}T_{\text{et,i}} = 100\cdot 2{,}44\cdot 60.Primeiro 100\cdot 2{,}44 = 244. Depois 244\cdot 60 = 244\cdot(6\cdot 10)=14640.
    Logo m_{\text{et}}c_{\text{et}}T_{\text{et,i}} = 14640\\ \mathrm{J} (unidade de energia, mas aqui só precisamos do número para a média).
  • Calculando m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}T_{\text{ág,i}}ááá: m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}T_{\text{ág,i}} = 200\cdot 4{,}18\cdot 20.áááPrimeiro 4{,}18\cdot 20 = 83{,}6. Depois 200\cdot 83{,}6 = 16720.
    Logo m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}T_{\text{ág,i}} = 16720ááá.
  • Somando para o numerador: \text{numerador} = 14640 + 16720 = 31360.
  • Calculando o denominador m_{\text{et}}c_{\text{et}} + m_{\text{ág}}c_{\text{ág}}áá: m_{\text{et}}c_{\text{et}} + m_{\text{ág}}c_{\text{ág}} = 100\cdot 2{,}44 + 200\cdot 4{,}18 = 244 + 836 = 1080.áá

Passo 5

Dividindo para obter T_f:
T_f = \frac{31360}{1080} \approx 29{,}037037\ldots
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
T_f \approx 29{,}04^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação física simples do resultado e verificação rápida:
  • Faz sentido físico: a temperatura final fica entre 20^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C}, mais perto de 20^\circ\mathrm{C} porque a água (maior massa e maior c) domina a capacidade térmica total.
  • Checagem de ordem: capacidade térmica total da água é maior, então a mistura não se aproxima tanto dos 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Por que o resultado teórico pode diferir do experimental? (explicação didática e amigável)
Vou listar os principais motivos, explicando por que cada um muda a temperatura final:
  1. Entalpia de mistura (calor de mistura): quando etanol e água se misturam ocorre uma interação molecular que libera ou absorve calor. No caso etanol–água, a mistura é levemente exotérmica: mistura libera calor. Isso tende a elevar a temperatura final real acima do valor calculado que despreza esse efeito.
  2. Evaporação do etanol: uma parte do etanol pode evaporar durante a mistura (especialmente se houver agitação e superfície livre). A evaporação consome calor (calor latente), resfriando a mistura e reduzindo a temperatura final observada.
  3. Não-adiabaticidade prática: dizer que o recipiente é adiabático é idealização. Na prática há perdas/ganhos de calor com o ambiente, com o recipiente e com o termômetro. Se o sistema perde calor, T_f experimental fica menor; se ganha, maior.
  4. Calor absorvido pelo recipiente e instrumentos: se o recipiente tem massa e capacidade térmica significativa, ele absorve parte do calor. No enunciado isso não foi informado; ao medir sem incluir m_{\text{recipiente}}c_{\text{recipiente}} o valor calculado será diferente do experimental.
  5. Variação de c com temperatura e composição: os valores de c dados são aproximações constantes. Em realidade c depende de temperatura e da fração de etanol na água; isso altera um pouco a média e o T_f.
  6. Mistura não instantânea / gradientes de temperatura: se a mistura não for homogênea imediatamente, podem aparecer gradientes e o termômetro pode medir uma região não representativa.
  7. Erros experimentais de medição: imprecisão nas massas, temperaturas iniciais e leitura do termômetro também causam discrepância.
Resumo prático: os dois efeitos mais importantes para a mistura etanol–água são o calor de mistura (aumenta T_f) e a evaporação de etanol (diminui T_f). Dependendo das condições (tampa, agitação, superfície exposta), um ou outro pode dominar, fazendo o resultado experimental ficar acima ou abaixo do valor teórico que obtivemos.

Resposta

(a) T_f \approx 29{,}04^\circ\mathrm{C}
(b) Diferenças experimentais ocorrem por calor de mistura (mistura etanol–água é exotérmica), evaporação de etanol (resfria), perdas/ganhos de calor com o ambiente e recipiente, variação das capacidades térmicas com temperatura e composição, e erros de medição.

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