Misturam-se 50 g de cobre a 150^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{c}=0,39 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right) com 200 g de água a 25^{\circ} \mathrm{C}(\mathrm{c}=4,18 \mathrm{J} \mathrm{g}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ).
a) Calcule a temperatura de equilíbrio.
b) Justifique por que a água sofre menor variação relativa de temperatura, mesmo recebendo a maior quantidade de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes dados do enunciado) e o que pede:
  • Massa do cobre: m_{\mathrm{Cu}}=50\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{\mathrm{Cu,i}}=150^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do cobre: c_{\mathrm{Cu}}=0,39\\ \mathrm{J\\ g^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Massa da água: m_{\mathrm{H_2O}}=200\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água: T_{\mathrm{H_2O,i}}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água: c_{\mathrm{H_2O}}=4,18\\ \mathrm{J\\ g^{-1}\\ K^{-1}}.
O enunciado pede:
a) Calcular a temperatura de equilíbrio T_f do sistema cobre + água.
b) Justificar por que a água sofre menor variação relativa de temperatura, mesmo recebendo a maior quantidade de calor.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (aqui é a “lei da conservação de energia” aplicada à calorimetria):
  • Em uma mistura isolada, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio (em módulo), isto é, sem perdas ao ambiente:
Q_{\text{perdido}} + Q_{\text{ganho}} = 0.
  • A relação entre calor trocado, massa, calor específico e variação de temperatura é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor trocado (em joules, J). Calor positivo se recebido, negativo se cedido.
  • m é a massa (em gramas, g).
  • c é o calor específico (em \mathrm{J\\ g^{-1}\\ K^{-1}}).
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou grau Celsius; diferenças de temperatura em K ou °C são numéricamente iguais).
Explicando em linguagem amiga: para cada grama e para cada grau que um material esquenta, ele “precisa” de c joules; então para aquecer m gramas de 1^\circ precisa de m c joules. Se o material absorve Q joules, a temperatura sobe Q/(m c).

Passo 3

Aplicando o balanço de calor entre cobre (mais quente) e água (mais fria). Defino T_f como a temperatura de equilíbrio comum final. O cobre perde calor:
Q_{\mathrm{Cu}} = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_f - T_{\mathrm{Cu,i}}).
Como T_f < T_{\mathrm{Cu,i}}, esse Q_{\mathrm{Cu}} fica negativo (perda). A água ganha calor:
Q_{\mathrm{H_2O}} = m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\,(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}}).
O balanço Q_{\mathrm{Cu}} + Q_{\mathrm{H_2O}} = 0 pode ser escrito (movendo termos) como:
m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_{\mathrm{Cu,i}} - T_f) = m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\,(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}}).
Esta forma usa quantidades positivas dos módulos de calor cedido e recebido — é a equação que vamos resolver para T_f.

Passo 4

Substituo os números (peguei todos os valores do enunciado) e resolvo passo a passo.
Calculo os coeficientes:
m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}} = 50\cdot 0,39 = 19,5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}} = 200\cdot 4,18 = 836\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
A equação fica:
19,5\,(150 - T_f)=836\,(T_f - 25).
Desenvolvendo:
19,5\cdot 150 - 19,5\,T_f = 836\,T_f - 836\cdot 25.
Calculo os termos numéricos:
19,5\cdot 150 = 2925, \qquad 836\cdot 25 = 20900.
Então
2925 - 19,5\,T_f = 836\,T_f - 20900.
Agrupando termos em T_f:
2925 + 20900 = 836\,T_f + 19,5\,T_f.
23825 = 855,5\,T_f.
Logo
T_f = \frac{23825}{855,5}\approx 27,85^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: o equilíbrio fica pouco acima da temperatura inicial da água ( 25^\circ\mathrm{C}), porque a água tem muito mais “inércia térmica” (calor capacidade) do que o cobre.

Passo 5

Para deixar bem claro com números como a energia se distribui, calculo o calor trocado e as variações de temperatura individuais:
Calor trocado (módulo):
Q = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_{\mathrm{Cu,i}}-T_f) =19,5\cdot(150-27,85)\approx 19,5\cdot 122,15\approx 2381,9\\ \mathrm{J}.
Variações de temperatura:
\Delta T_{\mathrm{Cu}} = T_f - T_{\mathrm{Cu,i}} = 27,85 - 150 = -122,15^\circ\mathrm{C}
(em módulo, cobre caiu 122,15^\circ\mathrm{C}),
\Delta T_{\mathrm{H_2O}} = T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}} = 27,85 - 25 = 2,85^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: ambos trocaram a mesma quantidade de calor em módulo ( Q\approx 2382\\ \mathrm{J}), mas o efeito na temperatura é muito diferente porque os produtos m c são muito distintos:
m_{\mathrm{Cu}} c_{\mathrm{Cu}} = 19,5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}},\qquad m_{\mathrm{H_2O}} c_{\mathrm{H_2O}} = 836\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Para a mesma energia Q, a variação de temperatura é \Delta T = Q/(m c). Como m c da água é bem maior, sua \Delta T fica bem menor.

Passo 6

Resposta em linguagem curta e direta para o item (b) (resumo didático e motivador): a água sofre menor variação relativa de temperatura porque a sua capacidade térmica total m c é muito maior do que a do cobre — isto é, cada grau que a água esquenta exige muito mais energia. Em fórmulas:
\Delta T=\frac{Q}{m c},
e como m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}\gg m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}, para o mesmo Q a \Delta T da água é muito menor. Força extra de motivação: é por isso que a água é ótima para “estabilizar” temperaturas (radiadores, piscinas, etc.) — ela guarda muita energia sem mudar muito de temperatura.

Resposta

a) T_f\approx 27,85^\circ\mathrm{C}
b) Porque a variação de temperatura para uma dada quantidade de calor é \Delta T=Q/(m c). A água tem m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}=836\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}, muito maior que o cobre ( 19,5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}), logo para o mesmo Q a \Delta T da água é muito menor.

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