Ao misturarmos uma concentração de 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de ácido acético (representado por HA) em um determinado volume de água ocorrerá a dissociação do ácido cujo \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=1,8 \times 10^{-5}. Com base nessas informações responda o que se pede:
a) Escreva as reações de todos os equilíbrios envolvidos na dissociação do ácido em meio aquoso;
b) Escreva a equação da constante de equilíbrio para as reações apresentadas em a e os balanços de massa e carga;
c) Determine o valor das concentrações de \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}+\mathrm{e} \mathrm{A}. \mathbf{R}=\left[\mathbf{H}_{3} \mathbf{O}^{+}\right]=\mathbf{1 , 3 4} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathbf{M} \mathbf{~ e}\left[\mathbf{A}^{-}\right]=\mathbf{1 , 3 4} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathbf{M}.

Passo 1

O enunciado dá: concentração inicial de ácido acético c_0=0,1\\ \mathrm{M} e constante de dissociação K_a=1,8\times10^{-5}. Pede:
a) escrever as reações de todos os equilíbrios envolvidos na dissociação de \mathrm{HA} em água;
b) escrever as expressões das constantes de equilíbrio para as reações do item (a) e os balanços de massa e carga;
c) determinar as concentrações de \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+} e de \mathrm{A}^{-}.
Informações relevantes: c_0=0,1\\ \mathrm{M}, K_a=1,8\times10^{-5}. Não há outras espécies adicionadas além de água pura e o ácido. A temperatura implícita é 25^\circ\mathrm{C} (usarei K_w=1,0\times10^{-14}).

Passo 2

Escrevo os equilíbrios envolvidos (as reações químicas):
\mathrm{HA} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_3O}^{+} + \mathrm{A}^{-}
2\,\mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_3O}^{+} + \mathrm{OH}^{-}
A primeira é a dissociação do ácido acético; a segunda é a autoprotólise da água (importante para a carga/íons em solução).

Passo 3

Escrevo as expressões das constantes de equilíbrio e explico o que significam:
K_a=\frac{[\mathrm{H_3O}^{+}][\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}
Aqui K_a mede a tendência de \mathrm{HA} doar prótons; [\cdot] denota concentração molar no equilíbrio.
Para a água:
K_w=[\mathrm{H_3O}^{+}][\mathrm{OH}^{-}]=1,0\times10^{-14}
Isso significa que o produto das concentrações de \mathrm{H_3O}^{+} e \mathrm{OH}^{-} em água a 25^\circ\mathrm{C} é 1,0\times10^{-14}.

Passo 4

Escrevo os balanços que ligam as concentrações (conceptos e fórmulas):
  • Balanço de massa do ácido (a quantidade total de acético, dissociada ou não, é c_0):
[\mathrm{HA}]+[\mathrm{A}^{-}]=c_0
  • Balanço de carga (a solução é eletroneutra; cátions totais = ânions totais). As espécies carregadas relevantes são \mathrm{H_3O}^{+}, \mathrm{A}^{-} e \mathrm{OH}^{-}, logo:
[\mathrm{H_3O}^{+}]=[\mathrm{A}^{-}]+[\mathrm{OH}^{-}]
Essas duas equações, junto com a expressão de K_a e a relação K_w, permitem resolver as incógnitas.

Passo 5

Montagem do método prático (ICE simplificado) e introdução da aproximação usual:
Defina x=[\mathrm{A}^{-}] no equilíbrio (ou seja, é o quanto de ácido se dissociou). Em muitas soluções diluídas de ácido fraco, a contribuição da autoprotólise da água é desprezível em comparação com a dissociação do ácido (verificaremos isso depois). Fazendo a aproximação razoável
[\mathrm{H_3O}^{+}]\approx[\mathrm{A}^{-}]\equiv x
e usando o balanço de massa
[\mathrm{HA}]=c_0-x
substituímos na expressão de K_a:
K_a=\frac{x\cdot x}{c_0-x}=\frac{x^{2}}{c_0-x}.
Essa é a equação que vamos resolver para x. Explicação didática: aqui eu usei que a maior parte do íon hidrônio em solução vem da dissociação do ácido (porque o ácido produz muito mais H3O+ que a água sozinha); se fosse um ácido extremamente fraco ou muito diluído, teríamos que tratar a contribuição da água explicitamente.

Passo 6

Resolver a equação resultante (passo a passo algébrico):
Partindo de
K_a=\frac{x^{2}}{c_0-x}
multiplicando ambos os lados por c_0-x:
K_a(c_0-x)=x^{2}
rearranjando para uma equação quadrática:
x^{2}+K_a x - K_a c_0 = 0.
Aplicando a fórmula quadrática para x:
x=\frac{-K_a + \sqrt{K_a^{2}+4K_a c_0}}{2}.
Agora substituo numericamente K_a=1,8\times10^{-5} e c_0=0,1:
4K_a c_0 = 4\cdot(1,8\times10^{-5})\cdot0,1 = 7,2\times10^{-6},
K_a^{2}=(1,8\times10^{-5})^{2}=3,24\times10^{-10},
K_a^{2}+4K_a c_0 \approx 7,200324\times10^{-6}.
A raiz quadrada é
\sqrt{K_a^{2}+4K_a c_0}\approx 2,683\times10^{-3}.
Portanto
x=\frac{-1,8\times10^{-5}+2,683\times10^{-3}}{2} \approx 1,3325\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Arredondando com duas casas significativas apropriadas: x\approx1,33\times10^{-3}\\ \mathrm{M}. Se preferirmos o arredondamento do enunciado: 1,34\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Determinar as concentrações pedidas e verificar a validade das aproximações:
Pelo que fizemos,
[\mathrm{A}^{-}]=x\approx1,33\times10^{-3}\\ \mathrm{M},
[\mathrm{H_3O}^{+}]\approx x\approx1,33\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Verificação: valor de [\mathrm{OH}^{-}] vindo de K_w:
[\mathrm{OH}^{-}]=\frac{K_w}{[\mathrm{H_3O}^{+}]}=\frac{1,0\times10^{-14}}{1,33\times10^{-3}}\approx7,5\times10^{-12}\\ \mathrm{M},
muito pequeno comparado com 1,33\times10^{-3}, portanto a aproximação [\mathrm{H_3O}^{+}]\approx[\mathrm{A}^{-}] foi válida. Outra verificação rápida: x/c_0\approx1,33\times10^{-3}/0,1=0,0133 (1,33%), menor que a regra prática de 5\%, logo o procedimento de linearizar (desprezar x no denominador) seria também aceitável para estimativas rápidas.

Passo 8

Observações didáticas rápidas para a prova (resumo do procedimento que você deve decorar e aplicar):
  • Escreva sempre os equilíbrios e as expressões de K.
  • Use balanço de massa do soluto e balanço de carga (eletroneutralidade) para relacionar incógnitas.
  • Para ácido fraco em água, frequentemente [\mathrm{H_3O}^{+}]\approx[\mathrm{A}^{-}]=x; montar K_a=\dfrac{x^{2}}{c_0-x} e resolver (quadrática ou aproximação x\ll c_0).
  • Sempre verifique com K_w e a regra dos 5\% se a aproximação foi válida.

Resposta

a) \mathrm{HA}+\mathrm{H_2O}\rightleftharpoons\mathrm{H_3O}^{+}+\mathrm{A}^{-}
\quad 2\,\mathrm{H_2O}\rightleftharpoons\mathrm{H_3O}^{+}+\mathrm{OH}^{-}
b) K_a=\dfrac{[\mathrm{H_3O}^{+}][\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]},\qquad K_w=[\mathrm{H_3O}^{+}][\mathrm{OH}^{-}]=1,0\times10^{-14}
[\mathrm{HA}]+[\mathrm{A}^{-}]=c_0 (balanço de massa)
[\mathrm{H_3O}^{+}]=[\mathrm{A}^{-}]+[\mathrm{OH}^{-}] (eletroneutralidade)
c) [\mathrm{H_3O}^{+}]=1,34\times10^{-3}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{A}^{-}]=1,34\times10^{-3}\\ \mathrm{M}

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