(MIT) Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo vertical de modo que sua posição y (em metros) no instante t (em segundos, s ) é dada pela equação
y(t)=t^3-3 t+3, t >= 0
(a) Determine a função velocidade v(t)
(b) Para que valores de t a velocidade é nula, positiva ou negativa?
(c) Determine a distância total percorrida (não o deslocamento) pela partícula nos primeiros 3s.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição vertical de uma partícula em função do tempo
y(t)=t^3-3t+3, t>=0
e pede: (a) a velocidade v(t), (b) os instantes em que v(t) é nula, positiva ou negativa, e (c) a distância total percorrida nos primeiros 3 s. Para resolver vamos usar derivação para obter v(t), análise de sinal de polinômio e cálculo de distância via variações de y(t).

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Logo,
v(t)=y'(t)=ddtl(t^3-3t+3r)=3t^2-3

Passo 3

Para estudar onde v(t) muda de sinal, começamos encontrando as raízes de
v(t)=3t^2-3=0Longrightarrow t^2=1Longrightarrow t=1(descartamos t=-1)
Como v(t) é um polinômio do segundo grau com coeficiente líder positivo:
  • Em 0<= t<1, por exemplo em t=0, v(0)= -3<0, então v(t)<0.
  • Em t=1, v(1)=0.
  • Para t>1, em t=2, v(2)=3cdot4-3=9>0, então v(t)>0.

Passo 4

A distância total percorrida de t=0 a t=3 é a soma das distâncias percorridas nos trechos em que a partícula muda de sentido em t=1. Como a velocidade é negativa em [0,1] e positiva em [1,3], podemos usar a variação de y em cada intervalo:
y(0)=3, y(1)=1, y(3)=27-9+3=21
Distância em [0,1]:
|y(1)-y(0)|=|1-3|=2
Distância em [1,3]:
|y(3)-y(1)|=|21-1|=20
Total:
2+20=22 metros

Resposta

(a) v(t)=3t^2-3.
(b) v(t)=0 em t=1; v(t)<0 para 0<= t<1; v(t)>0 para t>1.
(c) A distância total percorrida de t=0 a t=3 é 22,m.

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