O modelo atômico de Bohr, apresentado em 1913, introduziu a importante ideia da quantização da energia no estudo da matéria. Com seu modelo, foi possível explicar com sucesso os espectros de absorção atômica para o hidrogênio. Para resolver as questões a seguir considere a primeira órbita (
) e os íon hidrogenóides de número atômico
.
a) Calcule as velocidades para o elétron em cada caso. Discuta eventuais diferenças considerando qualitativamente as energias potenciais de atração elétron-núcleo.
b) Calcule o raio para a primeira órbita de Bohr para cada íon. Compare os valores.
c) Quanto tempo demora para um elétron percorrer completamente a órbita
para cada íon hidrogenóide? Explique os resultados.
a) Calcule as velocidades para o elétron em cada caso. Discuta eventuais diferenças considerando qualitativamente as energias potenciais de atração elétron-núcleo.
b) Calcule o raio para a primeira órbita de Bohr para cada íon. Compare os valores.
c) Quanto tempo demora para um elétron percorrer completamente a órbita
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Modelo Atômico de Bohr. O problema pede para calcularmos algumas propriedades dos elétrons em íons hidrogenóides com números atômicos
e
, considerando a primeira órbita (
). Vamos precisar entender as fórmulas do modelo de Bohr para velocidade, raio da órbita e período de revolução do elétron. Vamos lá!
Passo 2
Parte a) Calcular as velocidades para o elétron em cada caso e discutir as diferenças considerando a energia potencial de atração elétron-núcleo.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a velocidade do elétron na órbita
do modelo de Bohr:
Onde:
-
é o número atômico, -
é a carga elementar ( C), -
é a permissividade do vácuo ( C²/(N·m²)), -
é a constante de Planck ( J·s), -
é o número da órbita (neste caso, ).
Calculando para Z=5:
Fazendo as contas:
Calculando para Z=91:
Fazendo as contas:
Discussão:
Observamos que a velocidade do elétron aumenta conforme o número atômico
aumenta. Isso acontece porque, quanto maior o
, maior é a carga positiva do núcleo, aumentando a força de atração elétrica entre o núcleo e o elétron. Essa maior atração resulta em elétrons que se movem mais rapidamente para manterem-se em órbita estável.
Passo 3
Parte b) Calcular o raio para a primeira órbita de Bohr para cada íon e comparar os valores.
A fórmula para o raio da órbita
no modelo de Bohr é:
Onde:
-
é a massa do elétron ( kg).
Podemos simplificar a fórmula sabendo que o raio de Bohr (
) é:
Então, a fórmula fica:
Para
:
Calculando para Z=5:
Calculando para Z=91:
Comparação:
O raio da órbita diminui conforme o número atômico
aumenta. Isso ocorre porque, com um núcleo mais carregado positivamente, o elétron é puxado mais fortemente para o núcleo, resultando em órbitas menores.
Passo 4
Parte c) Calcular o tempo que o elétron leva para percorrer completamente a órbita
para cada íon hidrogenóide e explicar os resultados.
O período de revolução
do elétron pode ser calculado pela relação:
Onde:
-
é o raio da órbita, -
é a velocidade do elétron.
Para Z=5:
Usando os valores calculados:
Para Z=91:
Explicação:
O tempo que o elétron leva para completar uma órbita diminui à medida que o número atômico
aumenta. Isso acontece porque, com um núcleo mais carregado, o elétron se move mais rapidamente e a órbita é menor, resultando em um período de revolução mais curto.
Resposta
a) As velocidades dos elétrons na primeira órbita são aproximadamente
para
e
para
. A velocidade aumenta com o aumento de
devido à maior força de atração núcleo-elétron.
b) Os raios das primeiras órbitas de Bohr são aproximadamente
para
e
para
. Observa-se que o raio diminui conforme
aumenta.
c) O tempo para o elétron percorrer completamente a órbita
é cerca de
para
e
para
. Isso ocorre porque elétrons em núcleos mais carregados movem-se mais rapidamente e em órbitas menores.