O modelo atômico de Bohr, apresentado em 1913, introduziu a importante ideia da quantização da energia no estudo da matéria. Com seu modelo, foi possível explicar com sucesso os espectros de absorção atômica para o hidrogênio. Para resolver as questões a seguir considere a primeira órbita ( n=1 ) e os íon hidrogenóides de número atômico Z=5 e Z=91.
a) Calcule as velocidades para o elétron em cada caso. Discuta eventuais diferenças considerando qualitativamente as energias potenciais de atração elétron-núcleo.
b) Calcule o raio para a primeira órbita de Bohr para cada íon. Compare os valores.
c) Quanto tempo demora para um elétron percorrer completamente a órbita n=1 para cada íon hidrogenóide? Explique os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Modelo Atômico de Bohr. O problema pede para calcularmos algumas propriedades dos elétrons em íons hidrogenóides com números atômicos Z=5 e Z=91, considerando a primeira órbita ( n=1). Vamos precisar entender as fórmulas do modelo de Bohr para velocidade, raio da órbita e período de revolução do elétron. Vamos lá!

Passo 2

Parte a) Calcular as velocidades para o elétron em cada caso e discutir as diferenças considerando a energia potencial de atração elétron-núcleo.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a velocidade do elétron na órbita n do modelo de Bohr:
vn = Z cdot e^22 cdot varepsilon0 cdot h cdot n
Onde:
  • Z é o número atômico,
  • e é a carga elementar ( e approx 1,602 times 10^-19 C),
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( varepsilon0 approx 8,854 times 10^-12 C²/(N·m²)),
  • h é a constante de Planck ( h approx 6,626 times 10^-34 J·s),
  • n é o número da órbita (neste caso, n=1).
Calculando para Z=5:
v1 = 5 cdot (1,602 times 10^-19)^22 cdot 8,854 times 10^-12 cdot 6,626 times 10^-34 cdot 1
Fazendo as contas:
v1 approx 5 cdot 2,566 times 10^-381,175 times 10^-45 approx 1,093 times 10^7 m/s
Calculando para Z=91:
v1 = 91 cdot (1,602 times 10^-19)^22 cdot 8,854 times 10^-12 cdot 6,626 times 10^-34 cdot 1
Fazendo as contas:
v1 approx 91 cdot 2,566 times 10^-381,175 times 10^-45 approx 1,988 times 10^9 m/s
Discussão:
Observamos que a velocidade do elétron aumenta conforme o número atômico Z aumenta. Isso acontece porque, quanto maior o Z, maior é a carga positiva do núcleo, aumentando a força de atração elétrica entre o núcleo e o elétron. Essa maior atração resulta em elétrons que se movem mais rapidamente para manterem-se em órbita estável.

Passo 3

Parte b) Calcular o raio para a primeira órbita de Bohr para cada íon e comparar os valores.
A fórmula para o raio da órbita n no modelo de Bohr é:
rn = 4 pi varepsilon0 h^2 n^2me e^2 Z
Onde:
  • me é a massa do elétron ( me approx 9,109 times 10^-31 kg).
Podemos simplificar a fórmula sabendo que o raio de Bohr ( a0) é:
a0 = 4 pi varepsilon0 h^2me e^2 approx 5,291 times 10^-11 m
Então, a fórmula fica:
rn = n^2 a0Z
Para n=1:
r1 = a0Z
Calculando para Z=5:
r1 = 5,291 times 10^-11 m5 approx 1,058 times 10^-11 m
Calculando para Z=91:
r1 = 5,291 times 10^-11 m91 approx 5,817 times 10^-13 m
Comparação:
O raio da órbita diminui conforme o número atômico Z aumenta. Isso ocorre porque, com um núcleo mais carregado positivamente, o elétron é puxado mais fortemente para o núcleo, resultando em órbitas menores.

Passo 4

Parte c) Calcular o tempo que o elétron leva para percorrer completamente a órbita n=1 para cada íon hidrogenóide e explicar os resultados.
O período de revolução T do elétron pode ser calculado pela relação:
T = 2 pi rv
Onde:
  • r é o raio da órbita,
  • v é a velocidade do elétron.
Para Z=5:
Usando os valores calculados:
T = 2 pi cdot 1,058 times 10^-11 m1,093 times 10^7 m/s approx 6,10 times 10^-18 s
Para Z=91:
T = 2 pi cdot 5,817 times 10^-13 m1,988 times 10^9 m/s approx 1,84 times 10^-21 s
Explicação:
O tempo que o elétron leva para completar uma órbita diminui à medida que o número atômico Z aumenta. Isso acontece porque, com um núcleo mais carregado, o elétron se move mais rapidamente e a órbita é menor, resultando em um período de revolução mais curto.

Resposta

a) As velocidades dos elétrons na primeira órbita são aproximadamente 1,093 times 10^7 m/s para Z=5 e 1,988 times 10^9 m/s para Z=91. A velocidade aumenta com o aumento de Z devido à maior força de atração núcleo-elétron.
b) Os raios das primeiras órbitas de Bohr são aproximadamente 1,058 times 10^-11 m para Z=5 e 5,817 times 10^-13 m para Z=91. Observa-se que o raio diminui conforme Z aumenta.
c) O tempo para o elétron percorrer completamente a órbita n=1 é cerca de 6,10 times 10^-18 s para Z=5 e 1,84 times 10^-21 s para Z=91. Isso ocorre porque elétrons em núcleos mais carregados movem-se mais rapidamente e em órbitas menores.

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