Um modelo biológico(THRALL et al.,1967)sugere que a reação do organismo humano a uma dose de um medicamento pode ser modelada por uma função da forma
F=13(K M^2-M^3)
em que K é uma constante positiva e M é a quantidade de medicamento presente no sangue.A derivada S=dF / dM pode ser considerada uma medida da sensibilidade do organismo ao medicamento.
b)Calcule d S / d M=d^2 F / d M^2 e interprete fisicamente essa derivada segunda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função que modela como o corpo reage a uma dose de medicamento:
F = 13(K M^2 - M^3)
Aqui, K é uma constante positiva e M é a quantidade de medicamento no sangue. A derivada S = dFdM representa quão sensível o organismo está ao medicamento. O que a questão quer é que a gente calcule a segunda derivada dSdM = d^2FdM^2 e explique o que isso significa na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada S = dFdM . Isso nos dará a taxa de variação de F em relação a M .
A função é:
F = 13(K M^2 - M^3)
Derivando em relação a M :
S = dFdM = 13(2 K M - 3 M^2)
Simplificando:
S = 2 K M - 3 M^23

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada dSdM = d^2FdM^2 . Isso nos mostrará como a sensibilidade S está mudando conforme aumentamos ou diminuímos a quantidade de medicamento M .
Derivando S em relação a M :
dSdM = ddM(2 K M - 3 M^23)
Podemos tirar o 13 de fora:
dSdM = 13(2 K - 6 M)
Simplificando novamente:
dSdM = 2 K - 6 M3

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos interpretar o que ela significa fisicamente. A primeira derivada S nos diz como a função F (a reação do organismo) está mudando com M . A segunda derivada dSdM nos mostra como essa taxa de mudança está mudando.
  • Se dSdM > 0 : A sensibilidade está aumentando conforme aumentamos M .
  • Se dSdM < 0 : A sensibilidade está diminuindo conforme aumentamos M .
  • Se dSdM = 0 : A sensibilidade não está mudando no ponto analisado, indicando um ponto de inflexão.
Isso nos ajuda a entender se o efeito do medicamento está se tornando mais forte ou mais fraco à medida que aumentamos a dose.

Resposta

A segunda derivada é
d^2FdM^2 = 2 K - 6 M3
Fisicamente, essa derivada indica como a sensibilidade do organismo ao medicamento está mudando conforme a quantidade de medicamento M varia. Se d^2FdM^2 for positiva, a sensibilidade está aumentando com M ; se for negativa, a sensibilidade está diminuindo.

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