Um modelo biológico(THRALL et al.,1967)sugere que a reação do organismo humano a uma dose de um medicamento pode ser modelada por uma função da forma
em que
é uma constante positiva e
é a quantidade de medicamento presente no sangue.A derivada
pode ser considerada uma medida da sensibilidade do organismo ao medicamento.
b)Calcule
e interprete fisicamente essa derivada segunda.
b)Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função que modela como o corpo reage a uma dose de medicamento:
Aqui,
é uma constante positiva e
é a quantidade de medicamento no sangue. A derivada
representa quão sensível o organismo está ao medicamento. O que a questão quer é que a gente calcule a segunda derivada
e explique o que isso significa na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada
. Isso nos dará a taxa de variação de
em relação a
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Isso nos mostrará como a sensibilidade
está mudando conforme aumentamos ou diminuímos a quantidade de medicamento
.
Derivando
em relação a
:
Podemos tirar o
de fora:
Simplificando novamente:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos interpretar o que ela significa fisicamente. A primeira derivada
nos diz como a função
(a reação do organismo) está mudando com
. A segunda derivada
nos mostra como essa taxa de mudança está mudando.
- Se
: A sensibilidade está aumentando conforme aumentamos . - Se
: A sensibilidade está diminuindo conforme aumentamos . - Se
: A sensibilidade não está mudando no ponto analisado, indicando um ponto de inflexão.
Isso nos ajuda a entender se o efeito do medicamento está se tornando mais forte ou mais fraco à medida que aumentamos a dose.
Resposta
A segunda derivada é
Fisicamente, essa derivada indica como a sensibilidade do organismo ao medicamento está mudando conforme a quantidade de medicamento
varia. Se
for positiva, a sensibilidade está aumentando com
; se for negativa, a sensibilidade está diminuindo.