Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
m) g(x)=raiz1+13 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=raiz1+13x
Esse é um caso de função composta: temos a função externa f(u)=raizu=u^tfrac12 e a interna u(x)=1+tfrac13x. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, a regra do poder e a derivada de x^-1.

Passo 2

Reescrevendo em potências,
g(x)=l(1+13xr)^12
Aqui f(u)=u^12 e u(x)=1+13x. Pela regra da cadeia,
g'(x)=f'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos f'(u). Como f(u)=u^12, pela regra do poder ( dduu^n=n,u^n-1) temos
f'(u)=12,u^-12

Passo 4

Agora u(x)=1+13x=1+13x^-1. A derivada de 1 é zero e, pela regra do poder,
ddxl(tfrac13x^-1r) =13cdot(-1)x^-2 =-13x^2
Logo
u'(x)=-13x^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
g'(x) =12l(1+13xr)^-12 cdotl(-13x^2r)
Basta simplificar os coeficientes:
g'(x) =-12cdot13x^2l(1+13xr)^-12 =-16x^2l(1+13xr)^-12
Voltando à raiz:
g'(x)=-16x^2raiz1+13x

Resposta

g'(x)=-16x^2raiz1+13x

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