Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
f) f(x)=-3(5 x^3-2 x+5)(raizx+2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = -3l(5x^3 - 2x + 5r)l(raizx + 2xr)
O conteúdo envolvido é: regra da constante, regra do produto, derivada de soma e derivada de potência.

Passo 2

Reconhecemos que f(x) é o produto de uma constante -3 por
h(x) = l(5x^3 - 2x + 5r)l(raizx + 2xr)
Pela regra da constante,
f'(x) = -3,h'(x)

Passo 3

Para calcular h'(x), definimos
u(x) = 5x^3 - 2x + 5 e v(x) = raizx + 2x
Pela regra do produto,
h'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 4

Derivamos u(x) e v(x) separadamente:
  • u(x)=5x^3-2x+5. Pela regra da potência e da derivada de ax, u'(x) = 15x^2 - 2
  • v(x)=x^1/2+2x. Pela regra da potência, v'(x) = tfrac12,x^-1/2 + 2 = 12raizx + 2

Passo 5

Substituindo em h'(x)=u'v+uv', obtemos
h'(x) = l(15x^2-2r)l(raizx+2xr) + l(5x^3-2x+5r)l(tfrac12raizx+2r)
Logo,
f'(x) = -3,h'(x) = -3l[ (15x^2-2)(raizx+2x) + (5x^3-2x+5)l(tfrac12raizx+2r) r]

Passo 6

Vamos simplificar os termos dentro dos colchetes:
  1. (15x^2-2)(raizx+2x)=15x^2raizx+30x^3-2raizx-4x
  2. (5x^3-2x+5)l(tfrac12raizx+2r)=tfrac5x^32raizx-tfrac2x2raizx+tfrac52raizx+10x^3-4x+10
    =tfrac52x^5/2-x^1/2+tfrac52x^-1/2+10x^3-4x+10
    Somando tudo:
h'(x) =15x^2raizx+30x^3-2raizx-4x +tfrac52x^5/2-x^1/2+tfrac52x^-1/2+10x^3-4x+10
Agrupando termos semelhantes:
h'(x) =352x^5/2+40x^3-3x^1/2-8x+52x^-1/2+10
Multiplicando por -3:
f'(x) =-3,h'(x) =-1052x^5/2-120x^3+9x^1/2+24x-152x^-1/2-30

Resposta

f'(x) =-1052x^5/2-120x^3+9x^1/2+24x-152x^-1/2-30

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