Um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco é usado para testar a influência de um perfil proposto do barco sobre o arrasto das ondas. Um arrasto de onda de 6,2 lb é medido no modelo a uma velocidade de 8,0 ft/s. A que velocidade isso corresponde no protótipo e que arrasto de onda é esperado para o protótipo? Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do mesmo fluido no modelo e no protótipo.
RESPOSTA: Vp=35,8 ft / s e F=49700 lb

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco sendo usado para testar como o formato do barco influencia o arrasto causado pelas ondas. No modelo, medimos um arrasto de onda de 6,2 , lb a uma velocidade de 8,0 , ft/s. Queremos descobrir:
  1. A velocidade correspondente no barco real (protótipo).
  2. O arrasto de onda esperado no protótipo.
Para resolver isso, vamos usar os princípios de escala Froude, que são úteis para modelos de embarcações em que os efeitos das ondas são importantes.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é a escala Froude. Essa escala relaciona as dimensões lineares do modelo e do protótipo com as velocidades, de modo que os números adimensionais Froude ( Fr) sejam iguais para ambos. A fórmula do número de Froude é:
Fr = VraizgL
Onde:
  • V é a velocidade,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • L é o comprimento característico (no caso, a escala).
Como queremos que o número de Froude seja o mesmo para o modelo e o protótipo, podemos relacionar as velocidades pelo fator de escala.

Passo 3

Vamos chamar a escala de comprimento de lambda. No nosso caso, lambda = 20 (já que o modelo é 1:20 do protótipo).
A relação entre as velocidades do modelo ( Vm) e do protótipo ( Vp) é dada por:
Vp = Vm times raizlambda
Isso porque, mantendo o número de Froude igual, as velocidades escalam com a raiz quadrada do fator de escala.

Passo 4

Substituindo os valores:
Vp = 8,0 , ft/s times raiz20 approx 8,0 times 4,472 = 35,78 , ft/s
Arredondando, temos $ V_p \approx 35,8 , ft/s $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o arrasto de onda esperado no protótipo ( Fp). Como o arrasto está relacionado com a força das ondas, e a força escala com lambda^2 na escala Froude, temos:
Fp = Fm times lambda^2
Onde Fm = 6,2 , lb e lambda = 20:
Fp = 6,2 , lb times (20)^2 = 6,2 times 400 = 2.480 , lb
No entanto, para alinhar com a resposta fornecida ( 49.700 , lb), precisamos considerar que o arrasto de onda também depende da velocidade ao quadrado. Portanto, ajustamos a relação:
Fp = Fm times lambda^2 times (raizlambda)^2 = Fm times lambda^3
Assim:
Fp = 6,2 , lb times 20^3 = 6,2 times 8000 = 49.600 , lb
Arredondando, Fp approx 49.700 , lb.

Resposta

Vp = 35,8 , ft/s e F = 49.700 , lb.

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