Um óleo de viscosidade cinemática 4,65 times 10^-5 m^2 / s deve ser usado em um protótipo, em que tanto as forças de viscosidade como de gravidade dominam; no caso, também se deseja um modelo em escala de 1:5. Qual a viscosidade necessária do líquido do modelo para fazer com que tanto o número de Reynolds como o de Froude sejam iguais no modelo e no protótipo?
RESPOSTA: vm=4,16 times 10^-6 m^2 / s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um óleo com uma viscosidade cinemática de 4,65 times 10^-5 , m^2/s que vai ser usado em um protótipo onde tanto as forças de viscosidade quanto as de gravidade são importantes. A gente quer criar um modelo em escala 1:5 e precisa encontrar qual deve ser a viscosidade do líquido no modelo para que os números de Reynolds e Froude sejam iguais no modelo e no protótipo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de número de Reynolds e número de Froude e como eles se relacionam em modelos em escala.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são esses números. O número de Reynolds ( Re) é uma medida que compara forças de inércia com forças viscosas e é dado por:
Re = VLnu
onde V é a velocidade, L é um comprimento característico e nu é a viscosidade cinemática.
Já o número de Froude ( Fr) compara forças de inércia com forças gravitacionais e é dado por:
Fr = VraizgL
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como queremos que tanto Re quanto Fr sejam iguais no modelo e no protótipo, vamos igualar as expressões dos dois números para o modelo e para o protótipo.
Para o protótipo:
Rep = Vp Lpnup
Frp = Vpraizg Lp
Para o modelo:
Rem = Vm Lmnum
Frm = Vmraizg Lm
Queremos que Rep = Rem e Frp = Frm.

Passo 4

Sabemos que a escala é 1:5, o que significa que as dimensões do modelo ( Lm) são 1/5 das dimensões do protótipo ( Lp):
Lm = Lp5
Vamos assumir que as velocidades estão na mesma proporção que as dimensões, então:
Vm = Vp5^n
onde n é um expoente que vamos determinar a seguir.

Passo 5

Começamos igualando os números de Froude:
Frp = Frm
Vpraizg Lp = Vmraizg Lm
Substituindo Lm = Lp5:
Vpraizg Lp = Vmraizg Lp5
Simplificando:
Vp raiz5 = Vm
Portanto:
Vm = Vpraiz5

Passo 6

Agora, igualamos os números de Reynolds:
Rep = Rem
Vp Lpnup = Vm Lmnum
Substituindo Lm = Lp5 e Vm = Vpraiz5:
Vp Lpnup = Vpraiz5 cdot Lp5num
Simplificando:
Vp Lpnup = Vp Lp5 raiz5 num
Cancelando Vp Lp dos dois lados:
1nup = 15 raiz5 num
Invertendo ambos os lados:
num = nup5 raiz5

Passo 7

Agora é só substituir os valores. Sabemos que nup = 4,65 times 10^-5 , m^2/s:
num = 4,65 times 10^-55 times raiz5
Calculando 5 times raiz5:
5 times 2,236 = 11,18
Então:
num = 4,65 times 10^-511,18 approx 4,16 times 10^-6 , m^2/s

Resposta

A viscosidade necessária do líquido do modelo é vm = 4,16 times 10^-6 , m^2/s.

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