Um óleo de viscosidade cinemática
deve ser usado em um protótipo, em que tanto as forças de viscosidade como de gravidade dominam; no caso, também se deseja um modelo em escala de 1:5. Qual a viscosidade necessária do líquido do modelo para fazer com que tanto o número de Reynolds como o de Froude sejam iguais no modelo e no protótipo?
RESPOSTA:
RESPOSTA:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um óleo com uma viscosidade cinemática de
que vai ser usado em um protótipo onde tanto as forças de viscosidade quanto as de gravidade são importantes. A gente quer criar um modelo em escala 1:5 e precisa encontrar qual deve ser a viscosidade do líquido no modelo para que os números de Reynolds e Froude sejam iguais no modelo e no protótipo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de número de Reynolds e número de Froude e como eles se relacionam em modelos em escala.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são esses números. O número de Reynolds (
) é uma medida que compara forças de inércia com forças viscosas e é dado por:
onde
é a velocidade,
é um comprimento característico e
é a viscosidade cinemática.
Já o número de Froude (
) compara forças de inércia com forças gravitacionais e é dado por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como queremos que tanto
quanto
sejam iguais no modelo e no protótipo, vamos igualar as expressões dos dois números para o modelo e para o protótipo.
Para o protótipo:
Para o modelo:
Queremos que
e
.
Passo 4
Sabemos que a escala é 1:5, o que significa que as dimensões do modelo (
) são 1/5 das dimensões do protótipo (
):
Vamos assumir que as velocidades estão na mesma proporção que as dimensões, então:
onde
é um expoente que vamos determinar a seguir.
Passo 5
Começamos igualando os números de Froude:
Substituindo
:
Simplificando:
Portanto:
Passo 6
Agora, igualamos os números de Reynolds:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Invertendo ambos os lados:
Passo 7
Agora é só substituir os valores. Sabemos que
:
Calculando
:
Então:
Resposta
A viscosidade necessária do líquido do modelo é
.