Questão 3 (20 %) Um conjunto cilindro-pistão contém, inicialmente, vapor d’água saturado a 400 kPa . Nesse estado, a distância entre o pistão e o fundo do cilindro é 0,1 \mathrm{~m} e área do pistão é igual a 0,01 \mathrm{~m}^{2}. Determine qual será a temperatura e o título se a água for resfriada a pressão constante até que o volume ocupado passe a ser a metade do volume original. Qual o valor do trabalho nesse processo? Determine as outras propriedades do estado final. Determine também a quantidade de massa contida no sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados do problema:
\text{Pressão inicial (e do processo)}\;P=400\\ \text{kPa}ã
\text{Estado inicial: vapor d'água saturado à pressão }Páàã
\text{Área do pistão }A=0,01\\ \text{m}^2Áã
\text{Separação pistão-fundo (altura) inicial }h_1=0,1\\ \text{m}çãã
Pedidos:
  1. Determinar a temperatura e o título (qualidade, x) do estado final quando o sistema for resfriado à pressão constante até que o volume total passe a ser a metade do volume original.
  2. Calcular o trabalho realizado neste processo.
  3. Determinar as outras propriedades do estado final (especificar: volume, volume específico, energia/entalpia específicas se possível).
  4. Determinar a massa contida no sistema.
Observações importantes (que não resolvem ainda, só organizam): o processo é isotérmico / isobárico na região de dois fases porque começamos com vapor saturado e mantemos a pressão constante durante o resfriamento; usaremos propriedades de saturação da água (tabelas de vapor) à pressão dada.

Passo 2

Vou pegar as propriedades de saturação da água para P=400\\ \text{kPa} nas tabelas de vapor saturado. Esses valores são obtidos em tabelas padrão de vapor d’água (tabelas de saturação). Os valores que vou usar são:
T_{\text{sat}}(0{,}4\\ \text{MPa}) = 143{,}61^\circ\text{C}
v_f = 0{,}00109\\ \text{m}^3/\text{kg}\quad(\text{volume específico do líquido saturado})íí
v_g = 0{,}4624\\ \text{m}^3/\text{kg}\quad(\text{volume específico do vapor saturado})í
h_f = 606{,}1\\ \text{kJ/kg}\quad(\text{entalpia do líquido saturado})í
h_g = 2675{,}5\\ \text{kJ/kg}\quad(\text{entalpia do vapor saturado})
u_f = 605{,}7\\ \text{kJ/kg}\quad(\text{energia interna do líquido saturado})í
u_g = 2490{,}5\\ \text{kJ/kg}\quad(\text{energia interna do vapor saturado})
Nota: Eu informei explicitamente que peguei esses números das tabelas de vapor saturado para P=400\\ \text{kPa}. Pequenas diferenças de tabela/rounded values são normais; a metodologia continua a mesma.

Passo 3

Calcular o volume total inicial do fluido dentro do cilindro-pistão. O volume é área vezes altura:
V_1 = A\cdot h_1
V_1 = 0{,}01\\ \text{m}^2 \times 0{,}1\\ \text{m} = 0{,}001\\ \text{m}^3.

Passo 4

Como o estado inicial é vapor saturado à pressão dada, o volume específico inicial v_1 é igual a v_g. Assim podemos calcular a massa total m do vapor no cilindro:
m = \frac{V_1}{v_1} = \frac{V_1}{v_g}.
Substituindo os números:
m = \frac{0{,}001\\ \text{m}^3}{0{,}4624\\ \text{m}^3/\text{kg}} \approx 0{,}002162\\ \text{kg}.
Interpretação: são cerca de 2{,}16 gramas de vapor — pouco massa, por isso os números energéticos totais serão pequenos.

Passo 5

O volume total final V_2 é a metade do volume original, pelo enunciado:
V_2 = \frac{V_1}{2} = 0{,}0005\\ \text{m}^3.
O volume específico final v_2 é
v_2=\frac{V_2}{m}.
Usando m=V_1/v_g podemos simplificar:
v_2=\frac{V_2}{V_1}\,v_g = \frac{1}{2}\,v_g.
Numericamente:
v_2 = \tfrac{1}{2}\times 0{,}4624\\ \text{m}^3/\text{kg} = 0{,}2312\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 6

Determinar a fase no estado final e a temperatura.
Comparando v_2 com v_f e v_g:
v_f = 0{,}00109\\ \text{m}^3/\text{kg} \quad<\quad v_2 = 0{,}2312\\ \text{m}^3/\text{kg} \quad<\quad v_g = 0{,}4624\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Portanto o ponto final está na mistura saturada (duas fases): parte líquido + parte vapor. Como o processo é à pressão constante P=400\\ \text{kPa} e a mistura está na região de saturação, a temperatura do sistema final é a temperatura de saturação àquela pressão. Logo:
T_2 = T_{\text{sat}}(400\\ \text{kPa}) = 143{,}61^\circ\text{C}.
Explicação didática curta: num processo isobárico que atravessa a região de saturação, a pressão fixa determina a temperatura de saturação — ao remover calor o vapor condensa, mas a temperatura permanece igual até que toda a massa condense (situação típica de mudança de fase à pressão constante).

Passo 7

Calcular o título (qualidade) x do vapor na mistura final. A fórmula do título em função do volume específico é:
x=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f}.
Substituindo:
x=\frac{0{,}2312 - 0{,}00109}{0{,}4624 - 0{,}00109} = \frac{0{,}23011}{0{,}46131}\approx 0{,}4989.
Arredondando razoavelmente:
x \approx 0{,}499\quad(\text{ou }49{,}9\%).
Interpretação: cerca de metade da massa está na fase vapor e a outra metade na fase líquida após a compressão térmica (resfriamento) até metade do volume.

Passo 8

Calcular o trabalho realizado no processo. Para um processo quasi-estático à pressão constante, o trabalho (trabalho realizado pelo sistema) é:
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P\,(V_2-V_1).
Aqui P=400\\ \text{kPa}=400{,}0\\ \text{kN/m}^2. Em unidades de kJ (1 kPa·m^3 = 1 kJ):
W = 400\\ \text{kPa}\times(0{,}0005 - 0{,}001)\\ \text{m}^3 = 400\times(-0{,}0005)\\ \text{kJ} = -0{,}2\\ \text{kJ}.
Em joules:
W = -200\\ \text{J}.
Interpretação do sinal: W<0 significa que o trabalho foi realizado sobre o sistema (ou seja, o pistão fez trabalho sobre o fluido, porque o volume diminuiu). Se quiser o trabalho realizado pelo sistema, é -0{,}2\\ \text{kJ} (negativo).

Passo 9

Determinar outras propriedades do estado final (energia interna específica u_2 e entalpia específica h_2), usando mistura de fases e os valores das tabelas.
Fórmula para qualquer propriedade específica \varphi em mistura saturada:
\phi_2 = (1-x)\,\phi_f + x\,\phi_g = \phi_f + x(\phi_g-\phi_f).
Aplicando para energia interna específica u:
u_2 = u_f + x\,(u_g-u_f).
Substituindo números:
u_2 = 605{,}7\\ \text{kJ/kg} + 0{,}4989\,(2490{,}5 - 605{,}7)\\ \text{kJ/kg}
u_2 \approx 605{,}7 + 0{,}4989\times 1884{,}8 \approx 605{,}7 + 941{,}5 \approx 1547{,}2\\ \text{kJ/kg}.
Energia interna total do sistema:
U_{\text{total}} = m\,u_2 \approx 0{,}002162\\ \text{kg}\times 1547{,}2\\ \text{kJ/kg}\approx 3{,}35\\ \text{kJ}.
Agora a entalpia específica h_2:
h_2 = h_f + x\,(h_g-h_f)
h_2 = 606{,}1 + 0{,}4989\,(2675{,}5 - 606{,}1) = 606{,}1 + 0{,}4989\times 2069{,}4
h_2 \approx 606{,}1 + 1032{,}6 \approx 1638{,}7\\ \text{kJ/kg}.
Entalpia total:
H_{\text{total}} = m\,h_2 \approx 0{,}002162\times 1638{,}7 \approx 3{,}55\\ \text{kJ}.

Passo 10

Resumo final dos resultados numéricos principais (já apresentados passo a passo):
  • Massa total m
  • Temperatura final T_2
  • Título (qualidade) x
  • Trabalho W
  • Volume total final V_2 e volume específico v_2
  • Energia interna específica u_2 e total U_{\text{total}}
  • Entalpia específica h_2 e total H_{\text{total}}
Os valores numéricos finais foram calculados nos passos anteriores e estão prontos para conferência.

Resposta

T_2 = 143{,}61^\circ\text{C}
x = 0{,}499 (qualidade)
W = -0{,}2\\ \text{kJ} = -200\\ \text{J}
m = 0{,}002162\\ \text{kg}
V_2 = 0{,}0005\\ \text{m}^3
v_2 = 0{,}2312\\ \text{m}^3/\text{kg}
u_2 \approx 1547{,}2\\ \text{kJ/kg} ; U_{\text{total}}\approx 3{,}35\\ \text{kJ}
h_2 \approx 1638{,}7\\ \text{kJ/kg} ; H_{\text{total}}\approx 3{,}55\\ \text{kJ}

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