O modelo de Fitzhugh-Nagumo para impulso elétrico em um neurônio estabelece que, na ausência de efeitos associados à relaxação, o potencial elétrico em um neurônio,
, obedece à equação diferencial
em que
é uma constante positiva tal que
.
(a) Para que valores de
esta função é invariável (ou seja
)?
(b) Para que valores de
esta função é crescente?
(c) Para que valores de
esta função é decrescente?
(a) Para que valores de
(b) Para que valores de
(c) Para que valores de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com
uma constante tal que
. Ele pede três coisas:
(a) Para que valores de temos
(função invariável)?
(b) Para que valores de a função
é crescente (isto é,
)?
(c) Para que valores de a função
é decrescente (isto é,
)?
(a) Para que valores de
(b) Para que valores de
(c) Para que valores de
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos em que
. Isso ocorre quando o produto no lado direito é zero, ou seja quando
Um produto é zero se alguma das parcelas é zero. Logo ou
ou
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
Usamos a fórmula quadrática: as raízes são
Calculamos o discriminante:
Como
temos
. Portanto as duas raízes são
Calculando cada uma:
Também podemos verificar que o polinômio se fatoriza como
Assim a equação original pode ser reescrita
Passo 4
Concluímos que os pontos em que
são exatamente
Agora vamos estudar o sinal de
para saber onde a solução cresce (positiva) ou decresce (negativa). Como
, a ordem dos pontos críticos na reta é
Fazemos o exame do sinal de
em cada intervalo formado por esses pontos.
Intervalo
: aqui
,
,
. Então o produto
é positivo e, com o sinal negativo na frente, temos
. Logo decrescente em
.
Intervalo
: aqui
,
,
. Então
é negativo; com o sinal negativo na frente fica
. Logo crescente em
.
Intervalo
: aqui
,
,
. Os dois fatores negativos tornam o produto
positivo; com o menos na frente fica
. Logo decrescente em
.
Intervalo
: aqui
,
(pois
),
. Três fatores negativos produzem um produto negativo; com o menos da frente obtemos
. Logo crescente em
.
Passo 5
Resumindo: os pontos de invariância (onde a derivada é zero) são
. A função cresce quando a derivada é positiva e decresce quando a derivada é negativa; a análise de sinais acima deu os intervalos explicitamente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)