O modelo de Fitzhugh-Nagumo para impulso elétrico em um neurônio estabelece que, na ausência de efeitos associados à relaxação, o potencial elétrico em um neurônio, v(t), obedece à equação diferencial
\frac{d v}{d t}=-v\left[v^{2}-(1+\alpha) v+\alpha\right]
em que \alpha é uma constante positiva tal que 0<\alpha<1.
(a) Para que valores de v esta função é invariável (ou seja \frac{d v}{d t}=0 )?
(b) Para que valores de v esta função é crescente?
(c) Para que valores de v esta função é decrescente?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d v}{d t}=-v\left[v^{2}-(1+\alpha) v+\alpha\right]
com \alpha uma constante tal que 0<\alpha<1. Ele pede três coisas:
(a) Para que valores de v temos \dfrac{d v}{d t}=0 (função invariável)?
(b) Para que valores de v a função v(t) é crescente (isto é, \dfrac{d v}{d t}>0)?
(c) Para que valores de v a função v(t) é decrescente (isto é, \dfrac{d v}{d t}<0)?

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos em que \dfrac{d v}{d t}=0. Isso ocorre quando o produto no lado direito é zero, ou seja quando
-v\left[v^{2}-(1+\alpha)v+\alpha\right]=0.
Um produto é zero se alguma das parcelas é zero. Logo ou v=0 ou
v^{2}-(1+\alpha)v+\alpha=0.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática
v^{2}-(1+\alpha)v+\alpha=0.
Usamos a fórmula quadrática: as raízes são
v=\frac{(1+\alpha)\pm\sqrt{(1+\alpha)^{2}-4\alpha}}{2}.
Calculamos o discriminante:
(1+\alpha)^{2}-4\alpha = 1+2\alpha+\alpha^{2}-4\alpha = 1-2\alpha+\alpha^{2}=(1-\alpha)^{2}.
Como 0<\alpha<1 temos \sqrt{(1-\alpha)^{2}}=1-\alpha. Portanto as duas raízes são
v=\frac{(1+\alpha)\pm(1-\alpha)}{2}.
Calculando cada uma:
v=\frac{(1+\alpha)+(1-\alpha)}{2}=\frac{2}{2}=1,
v=\frac{(1+\alpha)-(1-\alpha)}{2}=\frac{2\alpha}{2}=\alpha.
Também podemos verificar que o polinômio se fatoriza como
v^{2}-(1+\alpha)v+\alpha=(v-\alpha)(v-1).
Assim a equação original pode ser reescrita
\frac{d v}{d t}=-v(v-\alpha)(v-1).

Passo 4

Concluímos que os pontos em que \dfrac{d v}{d t}=0 são exatamente
v=0,\quad v=\alpha,\quad v=1.
Agora vamos estudar o sinal de \dfrac{d v}{d t} para saber onde a solução cresce (positiva) ou decresce (negativa). Como 0<\alpha<1, a ordem dos pontos críticos na reta é
-\infty\\ <\\\ 0\\ <\\ \alpha\\ <\\\ 1\\ <\\ \infty.
Fazemos o exame do sinal de -v(v-\alpha)(v-1) em cada intervalo formado por esses pontos.
Intervalo v>1: aqui v>0, v-\alpha>0, v-1>0. Então o produto v(v-\alpha)(v-1) é positivo e, com o sinal negativo na frente, temos \dfrac{d v}{d t}<0. Logo decrescente em (1,\infty).
Intervalo \alpha<v<1: aqui v>0, v-\alpha>0, v-1<0. Então v(v-\alpha)(v-1) é negativo; com o sinal negativo na frente fica \dfrac{d v}{d t}>0. Logo crescente em (\alpha,1).
Intervalo 0<v<\alpha: aqui v>0, v-\alpha<0, v-1<0. Os dois fatores negativos tornam o produto v(v-\alpha)(v-1) positivo; com o menos na frente fica \dfrac{d v}{d t}<0. Logo decrescente em (0,\alpha).
Intervalo v<0: aqui v<0, v-\alpha<0 (pois \alpha>0), v-1<0. Três fatores negativos produzem um produto negativo; com o menos da frente obtemos \dfrac{d v}{d t}>0. Logo crescente em (-\infty,0).

Passo 5

Resumindo: os pontos de invariância (onde a derivada é zero) são v=0,\alpha,1. A função cresce quando a derivada é positiva e decresce quando a derivada é negativa; a análise de sinais acima deu os intervalos explicitamente.

Resposta

(a) v=0,\;v=\alpha,\;v=1
(b) v\in(-\infty,0)\cup(\alpha,1)
(c) v\in(0,\alpha)\cup(1,\infty)

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