Mostre que a função fornecida é uma solução do problema de valor inicial:
y=5 e^{2 x}+x ; \quad \frac{d y}{d x}-2 y=1-2 x, \quad y(0)=5.

Passo 1

O enunciado fornece a função \;y=5 e^{2 x}+x\; e pede para mostrar que ela é solução do problema de valor inicial formado pela equação diferencial
\frac{d y}{d x}-2 y=1-2 x
com a condição inicial
y(0)=5.
Ou seja, temos duas coisas para verificar:
  1. que ao substituir \;y=5 e^{2 x}+x\; na equação diferencial obtemos a identidade \;1-2x\;;
  2. que \;y(0)=5\; é verdade.

Passo 2

Antes de substituir, vamos revisar as regras de derivação que usaremos (explicadinhas e sem pressa). Se g(x)=e^{k x} com k constante, a regra da cadeia diz que a derivada é g'(x)=k e^{k x}. Isso ocorre porque primeiro derivamos a função exponencial e^{u} em relação a u (dando e^{u}) e depois multiplicamos pela derivada do expoente u=kx, que é k. Além disso, a derivada de x em relação a x é 1. Vamos aplicar isso ao nosso y.

Passo 3

Calculemos a derivada \frac{d y}{d x} da função \;y=5 e^{2 x}+x\;. Usando as regras do passo anterior:
\frac{d y}{d x}=5\cdot\frac{d}{d x}\big(e^{2x}\big)+\frac{d}{d x}(x).
Aplicando \frac{d}{d x}e^{2x}=2e^{2x} e \frac{d}{d x}x=1, obtemos
\frac{d y}{d x}=5\cdot(2e^{2x})+1=10e^{2x}+1.

Passo 4

Agora substituímos \frac{d y}{d x} e y na expressão \frac{d y}{d x}-2y e simplificamos passo a passo para ver se dá 1-2x. Substituindo:
\frac{d y}{d x}-2y=(10e^{2x}+1)-2(5e^{2x}+x).
Distribuindo o 2 e simplificando termos semelhantes:
(10e^{2x}+1)-\big(10e^{2x}+2x\big)=10e^{2x}+1-10e^{2x}-2x=1-2x.
Portanto a substituição resulta exatamente em \;1-2x\;, como exigido pela equação diferencial.

Passo 5

Verifiquemos a condição inicial \;y(0)=5\;. Substituindo x=0 na função dada:
y(0)=5e^{2\cdot 0}+0=5e^{0}=5\cdot 1=5.
Logo a condição inicial também é satisfeita.

Passo 6

Como mostramos que a função \;y=5 e^{2 x}+x\; satisfaz tanto a equação diferencial \frac{d y}{d x}-2 y=1-2 x quanto a condição inicial \;y(0)=5\;, concluímos que ela é, de fato, uma solução do problema de valor inicial. Boa notícia — missão cumprida!

Resposta

A função y=5 e^{2 x}+x satisfaz \frac{d y}{d x}-2 y=1-2 x e y(0)=5; portanto é solução do problema de valor inicial.

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