Mostre que a função fornecida é uma solução do problema de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para mostrar que ela é solução do problema de valor inicial formado pela equação diferencial
com a condição inicial
Ou seja, temos duas coisas para verificar:
- que ao substituir
na equação diferencial obtemos a identidade ; - que
é verdade.
Passo 2
Antes de substituir, vamos revisar as regras de derivação que usaremos (explicadinhas e sem pressa). Se
com
constante, a regra da cadeia diz que a derivada é
. Isso ocorre porque primeiro derivamos a função exponencial
em relação a
(dando
) e depois multiplicamos pela derivada do expoente
, que é
. Além disso, a derivada de
em relação a
é
. Vamos aplicar isso ao nosso
.
Passo 3
Calculemos a derivada
da função
. Usando as regras do passo anterior:
Aplicando
e
, obtemos
Passo 4
Agora substituímos
e
na expressão
e simplificamos passo a passo para ver se dá
. Substituindo:
Distribuindo o
e simplificando termos semelhantes:
Portanto a substituição resulta exatamente em
, como exigido pela equação diferencial.
Passo 5
Verifiquemos a condição inicial
. Substituindo
na função dada:
Logo a condição inicial também é satisfeita.
Passo 6
Como mostramos que a função
satisfaz tanto a equação diferencial
quanto a condição inicial
, concluímos que ela é, de fato, uma solução do problema de valor inicial. Boa notícia — missão cumprida!
Resposta
A função
satisfaz
e
; portanto é solução do problema de valor inicial.