Um modelo para índice de preço de alimentos (o preço de uma cesta básica) entre 1984 e 1994 é dado pela função
onde
é medido em anos desde a metade do ano de 1984; assim
, el
é medido em 1987 dólares e reduzido em uma escala tal que
. Estime os períodos nos quais a comida foi mais barata e mais cara durante o período de 1984-1994.
onde
Passo 1
O enunciado nos dá o índice de preço de alimentos como a função polinomial
, com
medindo anos desde meados de 1984. Queremos achar em que instantes desse intervalo o índice atinge valor mínimo (comida mais barata) e máximo (comida mais cara). Para isso vamos usar cálculo de extremos de funções: derivada nula e avaliação nos pontos críticos e nas fronteiras.
Passo 2
Calculamos a derivada
e escrevemos em forma fechada:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
em
. Usando análise de sinal e método da bissecção, obtemos aproximadamente dois zeros reais relevantes:
Passo 4
Agora avaliamos
em
:
Passo 5
Comparando esses valores num intervalo fechado, o valor máximo ocorre em
e o mínimo em
. Convertendo para datas,
é anos desde meados de 1984:
-
corresponde a meados de 1984 + 5.13 anos ≃ agosto–setembro de 1989 (preço máximo). -
corresponde a meados de 1994 (preço mínimo).
Resposta
Comida mais cara por volta de t≈5,13 anos após meados de 1984 (≈ago/set 1989) e comida mais barata em t=10 (meados de 1994).