Um modelo para índice de preço de alimentos (o preço de uma cesta básica) entre 1984 e 1994 é dado pela função
I(t)=0.00009045 t^5+0.001438 t^4-0.06561 t^3+0.4598 t^2-0.6270 t+99.33
onde t é medido em anos desde a metade do ano de 1984; assim 0 <= t <= 10, el /(t) é medido em 1987 dólares e reduzido em uma escala tal que I(3)=100. Estime os períodos nos quais a comida foi mais barata e mais cara durante o período de 1984-1994.

Passo 1

O enunciado nos dá o índice de preço de alimentos como a função polinomial I(t)=0.00009045,t^5+0.001438,t^4-0.06561,t^3+0.4598,t^2-0.6270,t+99.33, com 0<= t<=10 medindo anos desde meados de 1984. Queremos achar em que instantes desse intervalo o índice atinge valor mínimo (comida mais barata) e máximo (comida mais cara). Para isso vamos usar cálculo de extremos de funções: derivada nula e avaliação nos pontos críticos e nas fronteiras.

Passo 2

Calculamos a derivada I'(t) e escrevemos em forma fechada:
I'(t)=5cdot0.00009045,t^4+4cdot0.001438,t^3-3cdot0.06561,t^2+2cdot0.4598,t-0.6270

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos I'(t)=0 em [0,10]. Usando análise de sinal e método da bissecção, obtemos aproximadamente dois zeros reais relevantes:
t1approx0.83, t2approx5.13

Passo 4

Agora avaliamos I(t) em t=0, t=t1, t=t2, t=10:
  • I(0)=99.33
  • I(0.83)approx99.09
  • I(5.13)approx100.67
  • I(10)approx96.86

Passo 5

Comparando esses valores num intervalo fechado, o valor máximo ocorre em tapprox5.13 e o mínimo em t=10. Convertendo para datas, t é anos desde meados de 1984:
  • tapprox5.13 corresponde a meados de 1984 + 5.13 anos ≃ agosto–setembro de 1989 (preço máximo).
  • t=10 corresponde a meados de 1994 (preço mínimo).

Resposta

Comida mais cara por volta de t≈5,13 anos após meados de 1984 (≈ago/set 1989) e comida mais barata em t=10 (meados de 1994).

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