O modelo logístico d Pd t=P(1-kH P) foi aplicado a uma determinada população de linguados. Suponha que P, medido em quilogramas, seja a massa total (ou biomassa) da população em um instante t. Os parâmetros na equação são estimados como tendo valores k=0,71 /ano e H=80,5 times 10^6 kg. Se a biomassa inicial é 25 % de H, encontre:
(b) o instante para o qual a população é 75 % de H.

Passo 1

O enunciado trata do modelo logístico
dPdt = k cdot P (1 - PH)
com k = 0,71 an^-1, capacidade de carga H = 80,5 times 10^6 kg e condição inicial P(0) = 0,25 cdot H. Em (b) queremos achar o tempo t tal que P(t) = 0,75 cdot H.

Passo 2

A solução geral da equação logística
dPdt=k,Pl(1-PHr)
é
P(t)=H1+C,e^-k,t,
onde a constante C vem da condição inicial.

Passo 3

Usando P(0)=P0=0,25,H em
P(0)=H1+C=0,25,H
segue
11+C=0,25 Longrightarrow 1+C=4 Longrightarrow C=3

Passo 4

Para achar t tal que P(t)=0,75,H, impomos
H1+3,e^-k,t=0,75,H
e cancelamos H, obtendo
1+3,e^-0,71,t=10,75=43 Longrightarrow 3,e^-0,71,t=43-1=13 Longrightarrow e^-0,71,t=19

Passo 5

Tomando logaritmo,
-0,71,t=ln!l(tfrac19r)=-ln(9) Longrightarrow t=ln(9)0,71approx2,19720,71approx3,10;anos

Resposta

O tempo necessário para P atingir 75% de H é aproximadamente 3,1 anos.

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