O modelo logístico d Pd t=P(1-kH P) foi aplicado a uma determinada população de linguados. Suponha que P, medido em quilogramas, seja a massa total (ou biomassa) da população em um instante t. Os parâmetros na equação são estimados como tendo valores k=0,71 /ano e H=80,5 times 10^6 kg. Se a biomassa inicial é 25 % de H, encontre:
(a) a biomassa 2 anos depois.

Passo 1

O enunciado dá o modelo logístico
dPdt=Pl(1-kHPr),
com parâmetros k=0,71 ano^-1 e H=80,5times10^6,kg. A condição inicial é
P(0)=0,25,H
Queremos encontrar P(2), a biomassa após 2 anos.

Passo 2

Reconhecemos a forma padrão do modelo logístico
dPdt=rPl(1-PKr),
onde r é a taxa intrínseca e K a capacidade de suporte. Comparando com
dPdt=P-kHP^2, vemos que
r=1, rK=kH;Longrightarrow;K=Hk

Passo 3

A solução geral do logístico é
P(t)=K1+l(KP(0)-1r)e^-r t
Substituindo r=1 e K=H/k, fica
P(t)=tfracHk1+l(tfracHkP(0)-1r)e^-t

Passo 4

Como P(0)=0,25,H, temos
H/kP(0)=H/k0,25,H=10,25,k=10,25cdot1k=4cdot1k,
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P(t) =tfracHk1+l(4/k-1r)e^-t =tfracHk1+l(tfrac4-kkr)e^-t =H/k1+l(tfrac4-kkr)e^-t

Passo 5

Agora avaliamos em t=2 e substituímos k=0,71:
P(2) =H/0,711+l(tfrac4-0,710,71r)e^-2 =tfrac10,71H1+l(tfrac3,290,71r)e^-2
Numericamente,
10,71approx1,40845, 3,290,71approx4,634, e^-2approx0,1353,
1+4,634times0,1353approx1+0,627=1,627,
P(2)approx1,40845,H1,627approx0,8656,H
Como H=80,5times10^6,kg,
P(2)approx0,8656times80,5times10^6approx69,7times10^6,kg

Resposta

A biomassa após 2 anos é aproximadamente
P(2)approx6,97times10^7,kg

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