Mostre que:
Em ambos os lados
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Em ambos os lados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que:
onde $ N $ é constante em ambos os lados. Estamos lidando com conceitos de Termodinâmica, especificamente envolvendo capacidade térmica a volume constante ($ c_V
\alpha
k_T $). Para resolver isso, vamos precisar usar as relações entre essas propriedades e as equações fundamentais da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expressão da variação de entropia ($ ds
dT
dV $):
Aqui, $ du $ é a variação da energia interna e $ P $ é a pressão.
Passo 3
Sabemos que a capacidade térmica a volume constante é definida por:
Como $ N $ é constante, podemos escrever a variação da energia interna $ du $ como:
Passo 4
Substituindo $ du $ na equação da variação de entropia, temos:
Agora, precisamos expressar $ P , dV $ em termos de $ dV $. Para isso, vamos usar a definição da compressibilidade isotérmica $ k_T $ e do coeficiente de expansão térmica $ \alpha $.
Passo 5
A compressibilidade isotérmica é definida por:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ dP $:
Passo 6
O coeficiente de expansão térmica é dado por:
Como $ P $ e $ N $ são constantes, podemos relacionar $ dV $ com $ dT $:
Passo 7
Voltando à equação $ T , ds = N c_V , dT + P , dV $, e substituindo $ P $ por $ \frac{t \alpha}{k_T} $ (assumindo que $ P $ está relacionado com $ \alpha $ e $ k_T $ de alguma forma específica do problema), temos:
Resposta
Assim, mostramos que:
com $ N $ constante em ambos os lados, conforme solicitado.