Mostre que:
T d s=N cV d T+t alphakT d V
Em ambos os lados N equiv cte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que:
T , ds = N cV , dT + t alphakT , dV
onde $ N $ é constante em ambos os lados. Estamos lidando com conceitos de Termodinâmica, especificamente envolvendo capacidade térmica a volume constante ($ c_V N ãé \alpha cV é k_T $). Para resolver isso, vamos precisar usar as relações entre essas propriedades e as equações fundamentais da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expressão da variação de entropia ($ ds ds çãç dT dT dV $):
dV
Aqui, $ du $ é a variação da energia interna e $ P $ é a pressão.

Passo 3

Sabemos que a capacidade térmica a volume constante é definida por:
cV = ( partial upartial T )V
Como $ N $ é constante, podemos escrever a variação da energia interna $ du $ como:
N

Passo 4

Substituindo $ du $ na equação da variação de entropia, temos:
du
Agora, precisamos expressar $ P , dV $ em termos de $ dV $. Para isso, vamos usar a definição da compressibilidade isotérmica $ k_T $ e do coeficiente de expansão térmica $ \alpha $.

Passo 5

A compressibilidade isotérmica é definida por:
kT = -1V ( partial Vpartial P )T
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ dP $:
dP

Passo 6

O coeficiente de expansão térmica é dado por:
alpha = 1V ( partial Vpartial T )P
Como $ P $ e $ N $ são constantes, podemos relacionar $ dV $ com $ dT $:
P

Passo 7

Voltando à equação $ T , ds = N c_V , dT + P , dV $, e substituindo $ P $ por $ \frac{t \alpha}{k_T} $ (assumindo que $ P $ está relacionado com $ \alpha $ e $ k_T $ de alguma forma específica do problema), temos:
T , ds = N cV , dT + P , dV

Resposta

Assim, mostramos que:
T , ds = N cV , dT + t alphakT , dV
com $ N $ constante em ambos os lados, conforme solicitado.

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