Mostre que:
Em ambos os lados
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Em ambos os lados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que $ T , ds = N C_p , dT - T V \alpha , dp $, onde $ N $ é constante. Isso está relacionado aos conceitos de Termodinâmica, especificamente envolvendo propriedades termodinâmicas como temperatura ($ T
s
p
V
C_p
\alpha $). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações básicas de termodinâmica e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entalpia ($ H $) é definida como $ H = U + pV $, onde $ U $ é a energia interna. A derivada total da entalpia é:
Mas, na termodinâmica, sabemos que $ dU = T , ds - p , dV $. Substituindo isso na expressão de $ dH $, temos:
Passo 3
Agora, sabemos que a capacidade térmica a pressão constante $ C_p $ é definida como:
Isso significa que $ dH $ pode ser escrito como:
Então, igualando as duas expressões para $ dH $:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para isolar $ T , ds $:
Até aqui, chegamos perto do que precisamos. Mas falta incluir os fatores $ N $ e $ \alpha $.
Passo 5
Considerando que o número de mols $ N $ é constante, podemos multiplicar toda a equação por $ N $:
Além disso, o coeficiente de expansão térmica $ \alpha $ é definido por:
Se rearranjarmos essa definição, temos $ V \alpha = \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p $, que está relacionado à variação de volume com a temperatura a pressão constante.
Passo 6
Voltando à nossa equação:
Podemos reescrever o segundo termo como:
Dessa forma, a equação fica:
Resposta
Portanto, mostramos que $ T , ds = N C_p , dT - T V \alpha , dp $ quando $ N $ é constante.