Mostre que:
T d s=N Cp d T-T V alpha d p
Em ambos os lados N equiv cte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que $ T , ds = N C_p , dT - T V \alpha , dp $, onde $ N $ é constante. Isso está relacionado aos conceitos de Termodinâmica, especificamente envolvendo propriedades termodinâmicas como temperatura ($ T T , ds = N Cp , dT - T V alpha , dp s N ã p T V s éã C_p p ãé \alpha $). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações básicas de termodinâmica e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entalpia ($ H $) é definida como $ H = U + pV $, onde $ U $ é a energia interna. A derivada total da entalpia é:
H
Mas, na termodinâmica, sabemos que $ dU = T , ds - p , dV $. Substituindo isso na expressão de $ dH $, temos:
H = U + pV
U

Passo 3

Agora, sabemos que a capacidade térmica a pressão constante $ C_p $ é definida como:
Cp
Isso significa que $ dH $ pode ser escrito como:
Cp = ( partial Hpartial T )p
Então, igualando as duas expressões para $ dH $:
dH

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para isolar $ T , ds $:
T , ds
Até aqui, chegamos perto do que precisamos. Mas falta incluir os fatores $ N $ e $ \alpha $.

Passo 5

Considerando que o número de mols $ N $ é constante, podemos multiplicar toda a equação por $ N $:
N
Além disso, o coeficiente de expansão térmica $ \alpha $ é definido por:
N
Se rearranjarmos essa definição, temos $ V \alpha = \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p $, que está relacionado à variação de volume com a temperatura a pressão constante.

Passo 6

Voltando à nossa equação:
T , ds = N Cp , dT - N V , dp
Podemos reescrever o segundo termo como:
N V alpha , dp
Dessa forma, a equação fica:
T , ds = N Cp , dT - T V alpha , dp

Resposta

Portanto, mostramos que $ T , ds = N C_p , dT - T V \alpha , dp $ quando $ N $ é constante.

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