Mostrar que se a e b são inteiros positivos tais que m d c(a, b)= m m c(a, b), então a=b.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números inteiros positivos, a e b. Sabemos que o máximo divisor comum (mdc) de a e b é igual ao mínimo múltiplo comum (mmc) desses números. Nosso objetivo é provar que, se essa igualdade acontece, então necessariamente a deve ser igual a b.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são mdc e mmc e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa cada termo:
  • Máximo Divisor Comum (mdc): É o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Por exemplo, mdc(8, 12) = 4.
  • Mínimo Múltiplo Comum (mmc): É o menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números. Por exemplo, mmc(8, 12) = 24.

Passo 3

Uma propriedade importante que relaciona mdc e mmc de dois números a e b é:
a times b = mdc(a, b) times mmc(a, b)
Isso significa que o produto de a e b é igual ao produto do mdc deles pelo mmc deles.

Passo 4

No nosso caso, sabemos que mdc(a, b) = mmc(a, b). Vamos chamar esse valor comum de k. Então, a equação fica:
a times b = k times k = k^2

Passo 5

Sabemos também que o mdc de a e b é k. Por definição do mdc, ambos a e b devem ser múltiplos de k. Então, podemos escrever:
a = k times m b = k times n
Onde m e n são inteiros positivos.

Passo 6

Substituindo a e b na equação original a times b = k^2, temos:
(k times m) times (k times n) = k^2 k^2 times m times n = k^2
Dividindo ambos os lados por k^2, obtemos:
m times n = 1

Passo 7

Como m e n são inteiros positivos e seu produto é 1, isso só é possível se m = 1 e n = 1. Portanto:
a = k times 1 = k b = k times 1 = k
Ou seja, a = b.

Resposta

Portanto, se a e b são inteiros positivos tais que mdc(a, b) = mmc(a, b), então a = b.

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