Mostrar que se
e
são inteiros positivos tais que
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números inteiros positivos,
e
. Sabemos que o máximo divisor comum (mdc) de
e
é igual ao mínimo múltiplo comum (mmc) desses números. Nosso objetivo é provar que, se essa igualdade acontece, então necessariamente
deve ser igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são mdc e mmc e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa cada termo:
-
Máximo Divisor Comum (mdc): É o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Por exemplo, mdc(8, 12) = 4.
-
Mínimo Múltiplo Comum (mmc): É o menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números. Por exemplo, mmc(8, 12) = 24.
Passo 3
Uma propriedade importante que relaciona mdc e mmc de dois números
e
é:
Isso significa que o produto de
e
é igual ao produto do mdc deles pelo mmc deles.
Passo 4
No nosso caso, sabemos que
. Vamos chamar esse valor comum de
. Então, a equação fica:
Passo 5
Sabemos também que o mdc de
e
é
. Por definição do mdc, ambos
e
devem ser múltiplos de
. Então, podemos escrever:
Onde
e
são inteiros positivos.
Passo 6
Substituindo
e
na equação original
, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 7
Como
e
são inteiros positivos e seu produto é 1, isso só é possível se
e
. Portanto:
Ou seja,
.
Resposta
Portanto, se
e
são inteiros positivos tais que
, então
.