Uma onda eletromagnética que se propagando no vácuo possui um campo elétrico dado por:
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Qual é o comprimento de onda? (c) Escreva a equação vetorial para
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Amplitude do campo elétrico:
. - Direção do campo elétrico:
(eixo ). - Argumento da função cosseno:
. Ou seja, a pulsação é e o número de onda está escrito como (não numérico no enunciado). - A forma do campo é
com
.
O enunciado pede:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é o comprimento de onda ?
(c) Escrever a equação vetorial para .
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é o comprimento de onda
(c) Escrever a equação vetorial para
Passo 2
Entendendo como determinar a direção e o sentido de propagação a partir do argumento de fase.
Explicação do conceito usado (passo-a-passo didático):
- Uma onda plana monocromática tem fase
. A superfície de fase constante satisfaz constante. - Diferenciando
constante obtemos
- O sinal da velocidade de fase
indica o sentido de propagação: se for positivo, a onda vai para + ; se for negativo, vai para . - No nosso caso a fase é
, que tem o sinal + antes de . Aplicando a fórmula:
- Como
é negativo, a onda se propaga no sentido negativo do eixo .
Interpretação física e conclusão do passo:
- A direção de propagação é ao longo do eixo
. - O sentido é negativo (ou seja, no sentido de
).
Passo 3
Determinar o número de onda
e o comprimento de onda
usando a relação entre
e
no vácuo.
Explicação das fórmulas que vou usar:
- No vácuo a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas é a velocidade da luz
, e para ondas harmônicas em vácuo vale a relação de dispersão simples
Aqui
é a velocidade da luz no vácuo,
.
- O comprimento de onda
está relacionado a por
Cálculo de
a partir de
:
Fazendo a conta passo a passo:
Agora calcular
:
Calculei:
Observação de verificação alternativa (opcional para a prova):
- Pode-se também calcular
e depois . Ambas as rotas dão o mesmo resultado numérico.
Passo 4
Encontrar a direção, amplitude e fase do campo magnético
.
Conceitos e fórmulas usados (explicação didática):
- Em uma onda eletromagnética plana no vácuo, os campos
, e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e estão relacionados pela regra do produto vetorial. - O vetor de Poynting (direção de propagação da energia e do avanço da onda) é
e seu sentido deve coincidir com a direção de propagação (aqui
).
- Para ondas no vácuo, as amplitudes estão relacionadas por
onde
e
são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente.
- Os campos
e estão em fase (mesma função trigonométrica) para uma onda livre.
Determinar a direção de
:
- Sabemos que
está em (eixo ) e a propagação é (−z). - Precisamos escolher
tal que . - Usando identidades de produto vetorial:
. Portanto escolher na direção (eixo ) faz com que aponte para , compatível com a propagação.
Cálculo da amplitude
:
Fazendo a conta:
Fase do campo magnético:
- Como é uma onda livre no vácuo,
está em fase com , portanto usa a mesma função .
Passo 5
Escrever a expressão final para
e recapitular respostas.
Combinando direção, amplitude e fase obtidas:
onde
e
.
Pequena verificação dimensional/geométrica:
-
e são perpendiculares ( e ). -
dá , que é o sentido de propagação encontrado. - A razão
confirma a relação correta entre amplitudes.
Resposta
(a) Direção: eixo
; sentido: negativo, i.e.
.
(b) (ou
).
(c) , com
e
.
(b)
(c)