Uma onda eletromagnética que se propagando no vácuo possui um campo elétrico dado por:
\vec{E}(z, t)=\left(2,45 \times 10^{5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\right) \hat{\jmath} \cos \left[k z+\left(11,78 \times 10^{12} \mathrm{rad} / \mathrm{s}\right) t\right]
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Qual é o comprimento de onda? (c) Escreva a equação vetorial para \vec{B}(z, t) .(25 \%)

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Amplitude do campo elétrico: E_{0}=2,45\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
  • Direção do campo elétrico: \hat{\jmath} (eixo y).
  • Argumento da função cosseno: k z+\left(11,78\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s}\right)t. Ou seja, a pulsação é \omega=11,78\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s} e o número de onda está escrito como k (não numérico no enunciado).
  • A forma do campo é
\vec{E}(z,t)=\left(2,45\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}\right)\hat{\jmath}\cos\!\left(kz+\omega t\right),
com \omega=11,78\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s}.
O enunciado pede:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é o comprimento de onda \lambda?
(c) Escrever a equação vetorial para \vec{B}(z,t).

Passo 2

Entendendo como determinar a direção e o sentido de propagação a partir do argumento de fase.
Explicação do conceito usado (passo-a-passo didático):
  • Uma onda plana monocromática tem fase \varphi(z,t)=kz\pm\omega t. A superfície de fase constante satisfaz \varphi= constante.
  • Diferenciando \varphi(z(t),t)= constante obtemos
\frac{d\varphi}{dt}=k\frac{dz}{dt}\pm\omega=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt}=\mp\frac{\omega}{k}.
  • O sinal da velocidade de fase \dfrac{dz}{dt} indica o sentido de propagação: se for positivo, a onda vai para + z; se for negativo, vai para -z.
  • No nosso caso a fase é \varphi=kz+\omega t, que tem o sinal + antes de \omega t. Aplicando a fórmula:
k\frac{dz}{dt}+\omega=0\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt}=-\frac{\omega}{k}.
  • Como \dfrac{dz}{dt} é negativo, a onda se propaga no sentido negativo do eixo z.
Interpretação física e conclusão do passo:
  • A direção de propagação é ao longo do eixo z.
  • O sentido é negativo (ou seja, no sentido de -\hat{k}).

Passo 3

Determinar o número de onda k e o comprimento de onda \lambda usando a relação entre \omega e k no vácuo.
Explicação das fórmulas que vou usar:
  • No vácuo a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas é a velocidade da luz c, e para ondas harmônicas em vácuo vale a relação de dispersão simples
\omega = c\,k.
Aqui c é a velocidade da luz no vácuo, c\approx 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • O comprimento de onda \lambda está relacionado a k por
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Cálculo de k a partir de \omega:
k=\frac{\omega}{c}=\frac{11,78\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s}}{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.
Fazendo a conta passo a passo:
\frac{11,78}{3,00}=3,926\ldots\quad\Rightarrow\quad k\approx 3,93\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}.
Agora calcular \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{3,93\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}}.
Calculei:
\lambda\approx 1,60\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=160\\ \mu\mathrm{m}.
Observação de verificação alternativa (opcional para a prova):
  • Pode-se também calcular f=\dfrac{\omega}{2\pi} e depois \lambda=\dfrac{c}{f}. Ambas as rotas dão o mesmo resultado numérico.

Passo 4

Encontrar a direção, amplitude e fase do campo magnético \vec{B}(z,t).
Conceitos e fórmulas usados (explicação didática):
  • Em uma onda eletromagnética plana no vácuo, os campos \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e estão relacionados pela regra do produto vetorial.
  • O vetor de Poynting (direção de propagação da energia e do avanço da onda) é
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B},
e seu sentido deve coincidir com a direção de propagação (aqui -\hat{k}).
  • Para ondas no vácuo, as amplitudes estão relacionadas por
B_{0}=\frac{E_{0}}{c},
onde E_{0} e B_{0} são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente.
  • Os campos \vec{E} e \vec{B} estão em fase (mesma função trigonométrica) para uma onda livre.
Determinar a direção de \vec{B}:
  • Sabemos que \vec{E} está em \hat{\jmath} (eixo y) e a propagação é -\hat{k} (−z).
  • Precisamos escolher \hat{u} tal que \hat{\jmath}\times\hat{u} \propto -\hat{k}.
  • Usando identidades de produto vetorial: \hat{\jmath}\times\hat{\imath}=-\hat{k}. Portanto escolher \vec{B} na direção \hat{\imath} (eixo x) faz com que \vec{E}\times\vec{B} aponte para -\hat{k}, compatível com a propagação.
Cálculo da amplitude B_{0}:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}=\frac{2,45\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}}{3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.
Fazendo a conta:
B_{0}\approx 8,17\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Fase do campo magnético:
  • Como é uma onda livre no vácuo, \vec{B} está em fase com \vec{E}, portanto usa a mesma função \cos(kz+\omega t).

Passo 5

Escrever a expressão final para \vec{B}(z,t) e recapitular respostas.
Combinando direção, amplitude e fase obtidas:
\vec{B}(z,t)=\left(8,17\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\right)\hat{\imath}\cos\!\left(kz+\omega t\right),
onde \omega=11,78\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s} e k\approx 3,93\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}.
Pequena verificação dimensional/geométrica:
  • \vec{E} e \vec{B} são perpendiculares ( \hat{\jmath} e \hat{\imath}).
  • \vec{E}\times\vec{B} -\hat{k}, que é o sentido de propagação encontrado.
  • A razão E_{0}/B_{0}=c confirma a relação correta entre amplitudes.

Resposta

(a) Direção: eixo z; sentido: negativo, i.e. -\hat{k}.
(b) \lambda\approx 1,60\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (ou 160\\ \mu\mathrm{m}).
(c) \displaystyle \vec{B}(z,t)=\left(8,17\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\right)\hat{\imath}\cos\!\left(kz+\omega t\right), com \omega=11,78\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s} e k\approx 3,93\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}.

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